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风险与累计收益：计算年化波动率与累计回报

约 10 分钟

小象实战讲义 · 量化交易Python入门：从咖啡馆到华尔街

Pandas 是量化交易员最核心的武器。本章你将通过 Series 和 DataFrame 深度处理时间序列行情数据，掌握 loc/iloc 定位筛选、缺失值与重复值清洗、以及最大回撤与年化波动率等核心指标统计计算。

💡 核心导读

本节将深入讲解 Pandas 中四个关键统计方法的应用场景与技术细节：均值绝对偏差（MAD）、方差（var）、标准差（std）和累积求和（cumsum）。通过实际案例演示如何计算数据离散程度指标，分析波动特征，以及实现滚动累计统计。读者将掌握：

使用均值绝对偏差计算稳健统计量
方差与标准差的差异与应用选择
累积求和的时间序列分析技巧
组合统计方法的实战应用策略

核心方法解析

均值绝对偏差（MAD）

均值绝对偏差（MAD）是数据偏离均值的绝对距离的平均值，相比标准差对异常值更具鲁棒性：

import pandas as pd
import numpy as np

data = pd.Series([1, 2, 3, 4, 5, 100])
print(f"原始数据:\n{data}\n")
print(f"MAD值: {(data - data.mean()).abs().mean():.2f}")  # 输出: 26.94
print(f"标准差: {data.std():.2f}")  # 输出: 39.63

'''
数据对比：
+------+-------+--------+
| 方法 | 值    | 敏感度 |
+------+-------+--------+
| MAD  | 26.94 | 低     |
| STD  | 39.63 | 高     |
+------+-------+--------+
'''

原始数据:
0      1
1      2
2      3
3      4
4      5
5    100
dtype: int64

MAD值: 26.94
标准差: 39.63

方差与标准差

方差（var）和标准差（std）是衡量数据离散程度的核心指标，标准差具有与原始数据相同的量纲：

import pandas as pd
import numpy as np

np.random.seed(42)  # 固定随机种子确保输出确定性
df = pd.DataFrame({
    'A': np.random.normal(0, 1, 100),  # 标准差1
    'B': np.random.normal(0, 3, 100)   # 标准差3
})

print("各列标准差:")
print(df.std())

print("\n总体方差:")
print(df.var(axis=None))  # 整个DataFrame的方差

各列标准差:
A    0.908168
B    2.861007
dtype: float64

总体方差:
4.4897530652609685

年化波动率：日标准差乘以 √252

日频数据算出的标准差只刻画单日波动，实务中还要折算成年化波动率才能跨资产比较。在收益率近似独立同分布的假设下，一年约 252 个交易日、方差随时间线性累加，因此年化标准差 = 日标准差 × √252（约 15.87 倍）。用一段真实的日收益率序列完成整个折算：

import pandas as pd
import numpy as np

returns = pd.Series([0.012, -0.005, 0.024, -0.011, 0.008, 0.015, -0.009, 0.006])
daily_std = returns.std()
annualized_std = daily_std * np.sqrt(252)

print(f"日收益率标准差: {daily_std:.4f}")
print(f"年化波动率(日std × √252): {annualized_std:.2%}")

日收益率标准差: 0.0124
年化波动率(日std × √252): 19.64%

累积求和（cumsum）

cumsum 实现累加计算，特别适用于时间序列分析：

import pandas as pd

sales = pd.Series([120, 150, 90, 200, 175], 
                 index=pd.date_range('2023-01', periods=5, freq='ME'),
                 name='销售额')

cumulative = sales.cumsum()
print("月度销售额及累计值:")
print(pd.concat([sales, cumulative], axis=1, 
                keys=['当月销售额', '累计销售额']))

'''
输出示例：
           当月销售额  累计销售额
2023-01-31     120      120
2023-02-28     150      270
2023-03-31      90      360
2023-04-30     200      560
2023-05-31     175      735
'''

月度销售额及累计值:
            当月销售额  累计销售额
2023-01-31    120    120
2023-02-28    150    270
2023-03-31     90    360
2023-04-30    200    560
2023-05-31    175    735

组合应用实战

波动率分析组合

import matplotlib
matplotlib.use('Agg')
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import numpy as np

np.random.seed(42)
prices = pd.Series(100 + np.random.randn(100).cumsum(),
                  name='股价')

returns = prices.pct_change()
analysis = pd.DataFrame({
    '价格': prices,
    '收益率': returns,
    '3日波动率': returns.rolling(3).std(),
    '累计收益': (1 + returns).cumprod() - 1
})

print(analysis.tail())

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 6))
analysis['价格'].plot(ax=ax1, title='股价走势')
analysis['3日波动率'].plot(ax=ax2, title='3日波动率')
plt.tight_layout()
plt.close(fig)

价格       收益率     3日波动率      累计收益
95  89.287646 -0.016127  0.007044 -0.111537
96  89.583767  0.003316  0.009797 -0.108590
97  89.844822  0.002914  0.011111 -0.105992
98  89.849935  0.000057  0.001777 -0.105942
99  89.615348 -0.002611  0.002763 -0.108276

📝 动手练一练

第 1 题 · 概念应用

你正在分析两只股票 A 和 B 的历史日收益率数据，并计算了它们的年化波动率。股票 A 的年化波动率为 25%，股票 B 的年化波动率为 30%。一位同事认为，如果将这两只股票等权重构建一个投资组合，那么该组合的年化波动率应该就是 (25% + 30%) / 2 = 27.5%。

以下哪个说法最准确地评价了同事的观点？

A. 正确。组合的波动率等于其成分资产波动率的简单平均。
B. 错误。组合的波动率不仅取决于成分资产的波动率，还取决于它们之间的相关性。如果相关性小于 1，组合波动率通常会低于 27.5%。
C. 错误。组合的波动率是成分资产波动率的加权平方和（漏了相关性项），按此计算为 √(0.5²×25%² + 0.5²×30%²) ≈ 19.53%，这只是 ρ=0 的特殊情形。
D. 错误。年化波动率不能直接相加，需要先转换为日波动率再进行计算。

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答案：B

同事的观点忽略了资产收益率之间的相关性。投资组合的波动率（标准差）计算公式为： $\sigma_p = \sqrt{w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2 w_A w_B \rho_{AB} \sigma_A \sigma_B}$ 其中 $\rho_{AB}$ 是两只股票收益率的相关性（ $-1 \le \rho_{AB} \le 1$ ）。当 $\rho_{AB} = 1$ 时，组合波动率才等于加权平均（27.5%）。在现实金融市场中，资产间相关性通常小于 1，因此组合波动率会低于成分资产波动率的加权平均，这体现了分散化投资降低风险（非系统性风险）的原理。选项 C 计算的是当 $\rho_{AB} = 0$ （完全不相关）时的特例，但题目并未给出相关性信息，因此 C 的说法过于绝对。选项 D 混淆了年化与日度折算的步骤，年化波动率本身是可比指标，可以直接用于组合计算。

第 2 题 · 代码填空

你正在计算一个投资策略的滚动年化波动率。已知 returns 是一个日收益率的 Pandas Series，你需要计算一个窗口为 60 个交易日的滚动标准差，并将其年化（假设一年有 252 个交易日）。请补全下方代码。

import pandas as pd
import numpy as np

# 示例数据：模拟100个交易日的日收益率
np.random.seed(2024)
returns = pd.Series(np.random.normal(0.0005, 0.015, 100),
                    index=pd.date_range('2024-01-01', periods=100, freq='B'))

# 计算滚动60日的年化波动率
rolling_window = 60
rolling_annual_vol = returns.rolling(window=rolling_window).std() * ______

print(f"最新滚动年化波动率: {rolling_annual_vol.iloc[-1]:.2%}")

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空位应填：np.sqrt(252)

补全后的完整可运行代码如下：

import pandas as pd
import numpy as np

# 示例数据：模拟100个交易日的日收益率
np.random.seed(2024)
returns = pd.Series(np.random.normal(0.0005, 0.015, 100),
                    index=pd.date_range('2024-01-01', periods=100, freq='B'))

# 计算滚动60日的年化波动率
rolling_window = 60
rolling_annual_vol = returns.rolling(window=rolling_window).std() * np.sqrt(252)

print(f"最新滚动年化波动率: {rolling_annual_vol.iloc[-1]:.2%}")

最新滚动年化波动率: 23.60%

解释：

returns.rolling(window=60).std() 计算了滚动60个交易日的日收益率标准差。
根据本节讲解的“年化波动率 = 日标准差 × √252”公式，需要乘以 np.sqrt(252) 将其转化为年化指标，以便在不同频率或不同资产间进行比较。
注意：这里假设收益率序列是日频的，且一年有252个交易日。如果数据频率不同（如周频、月频），则乘数需要相应调整（如周频乘以√52）。

本章小结

📋 行动清单

使用自家业务数据计算MAD值，对比其与标准差的差异，分析哪个指标更适合你的数据特征
创建一个包含异常值的DataFrame，分别计算滚动标准差和滚动MAD，观察窗口大小为5时的结果差异
选取某个时间序列数据（如月度销售额），使用cumsum生成累计曲线，并标注关键转折点

—— 小象教研组