实战：股票组合资产收益率与协方差矩阵计算

NumPy 综合实战：股票收益率序列的协方差矩阵与组合风险

小象实战讲义 · 量化交易Python入门：从咖啡馆到华尔街

本节是第 4 章 NumPy 的压轴综合实战。原始课程在这里使用的是一份「2016 年美国大选民调」数据集，用它演示 NumPy 的大规模数组处理；但那份数据的年代久远、与量化主题无关，本节改用一套中性的股票日收益率模拟数据，演示完全相同的一套 NumPy 分析技术：数组构造与形状变换、协方差矩阵计算、布尔掩码分组、向量化 加权聚合。学完本节，你将能亲手算出组合的协方差矩阵，并理解它为什么是量化风险管理的基础工具。

💡 核心导读

• 实战目标：给定若干只股票的日收益率序列，算出它们两两之间的协方差矩阵，为组合风险度量做准备。
• 核心概念：协方差矩阵 $\Sigma_{ij} = \mathrm{Cov}(r_i, r_j)$ 刻画资产间收益的联动方向；矩阵一定是对称的（$\Sigma_{ij} = \Sigma_{ji}$）。
• 三步处理流程：收益率数组构造 → 均值中心化 → 矩阵化协方差计算。
• 风险提示：回测与统计都存在幸存者偏差与前视偏差，本节末尾会说明它们如何让实盘表现与历史统计产生偏离。
• 全部代码锁定现代环境实跑（NumPy 2.5），输出可直接核对。

1. 收益率序列的构造与形状

量化分析里最常用的原始数据形态是「收益率矩阵」：每一行是一只标的，每一列是一个交易日，格子里是当日收益率。后续所有统计（均值、波动、协方差）都建立在这个矩阵之上。

import numpy as np

# 三只标的 × 5 个交易日的日收益率（小数，0.012 表示 1.2%）
# 硬编码小样例，输出完全确定
returns = np.array([
    [0.012, -0.008, 0.005, 0.011, -0.004],
    [-0.015, 0.006, 0.009, -0.004, 0.007],
    [0.003, 0.002, -0.006, 0.007, 0.001],
])
names = ["标的A", "标的B", "标的C"]
print("收益率矩阵形状（行数=标的数，列数=交易日数）：", returns.shape)
print("各标的平均日收益率：")
for name, row in zip(names, returns):
    print(f"  {name}: {row.mean():+.4f}")

收益率矩阵形状（行数=标的数，列数=交易日数）： (3, 5)
各标的平均日收益率：
  标的A: +0.0032
  标的B: +0.0006
  标的C: +0.0014

(3, 5) 这个形状是后面所有运算的前提：行方向是标的、列方向是时间。搞反方向是新手最常见的错误，下一节的协方差矩阵会直接暴露这一点。

2. 协方差矩阵：资产间联动关系的全景图

协方差矩阵 $\Sigma$ 的第 $(i, j)$ 个元素是第 $i$ 只标的与第 $j$ 只标的日收益率的协方差：

$$\Sigma_{ij} = \mathrm{Cov}(r_i, r_j) = \frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^{T} (r_{i,t} - \bar{r}_i)(r_{j,t} - \bar{r}_j)$$

其中 $T$ 是交易日数，$\bar{r}_i$ 是第 $i$ 只标的的平均收益率——必须先中心化，因为协方差衡量的是「共同波动」而非「各自水平」。

NumPy 提供了 np.cov，它默认按行（rowvar=True）计算，正好符合我们的「每行一只标的」布局：

import numpy as np

# 三只标的 × 5 个交易日的日收益率（硬编码小样例）
returns = np.array([
    [0.012, -0.008, 0.005, 0.011, -0.004],
    [-0.015, 0.006, 0.009, -0.004, 0.007],
    [0.003, 0.002, -0.006, 0.007, 0.001],
])
names = ["标的A", "标的B", "标的C"]

# np.cov 默认 rowvar=True：每一行视为一个变量，正是「每行一只标的」的口径
cov = np.cov(returns)

print("协方差矩阵：")
for name, row in zip(names, cov):
    print(f"  {name}: " + "  ".join(f"{v:+.6f}" for v in row))

# 协方差矩阵的对角线是各标的自身的方差
print("\n各标的日收益方差：")
for name, var in zip(names, np.diag(cov)):
    print(f"  {name}: {var:.6f}")

# 对称性校验：协方差矩阵必然对称
print("\n矩阵是否对称（cov == cov.T）：", bool(np.allclose(cov, cov.T)))

协方差矩阵：
  标的A: +0.000080  -0.000066  +0.000010
  标的B: -0.000066  +0.000101  -0.000028
  标的C: +0.000010  -0.000028  +0.000022

各标的日收益方差：
  标的A: 0.000080
  标的B: 0.000101
  标的C: 0.000022

矩阵是否对称（cov == cov.T）： True

怎么读这张表：

• 对角线是各标的自身的方差（波动水平）。这里标的 B 方差最大（0.000101），标的 C 最小（0.000022），意味着 C 的日收益波动最平缓。
• 非对角线刻画联动：标的 A 与 B 的协方差为负（-0.000066），表示两者倾向反向波动——同涨同跌的情况较少，这正是分散投资想要的；B 与 C 的协方差同样为负（-0.000028），但程度更弱；而 A 与 C 的协方差为正（+0.000010），说明这两只标的略微同向波动。
• 对称性是协方差矩阵的结构性质，脚本末尾用 np.allclose 做了数值校验，读者可自行验证。

实战提示：如果两只资产协方差接近 0 或为负，说明它们的波动基本独立或反向，把它们组合起来能有效降低组合波动；反之若协方差为正（尤其接近 1，即完全同向），分散风险的效果就明显减弱。注意本例中 A 与 C 正是这种正相关情形，后面第 4 节会看到它对组合波动的影响。

3. 布尔掩码分组与向量化加权聚合

协方差之外，量化里另一个高频场景是「按条件分组统计」：比如把交易日按「大盘上涨/下跌」分组，观察各标的在这两种状态下的平均表现。核心思路与前面章节一致——用布尔掩码取出子集，再做向量化聚合。

import numpy as np

# 三只标的 × 5 个交易日的日收益率（硬编码小样例）
returns = np.array([
    [0.012, -0.008, 0.005, 0.011, -0.004],
    [-0.015, 0.006, 0.009, -0.004, 0.007],
    [0.003, 0.002, -0.006, 0.007, 0.001],
])
names = ["标的A", "标的B", "标的C"]

# 以 A 标的当日涨跌作为「市场状态」的代理：正数=上涨日，负数=下跌日
market = returns[0]
up_mask = market > 0
down_mask = market < 0
print("上涨日天数：", int(up_mask.sum()), "｜下跌日天数：", int(down_mask.sum()))

print("\n各标的在两类市场状态下的平均日收益率：")
for name, row in zip(names, returns):
    up_avg = row[up_mask].mean()
    down_avg = row[down_mask].mean()
    print(f"  {name}: 上涨日 {up_avg:+.4f}  下跌日 {down_avg:+.4f}")

# 向量化加权聚合：组合收益 = 各标的收益率按权重加权求和
# 权重之和刻意小于 1，模拟「留有现金仓位」的真实情形
weights = np.array([0.45, 0.25, 0.15])
print("\n权重：", weights, "权重之和：", round(float(weights.sum()), 2))
portfolio = returns.T @ weights
print("各交易日组合收益率：", np.round(portfolio, 4))
print("组合日均收益率：", f"{portfolio.mean():+.4f}")

上涨日天数： 3 ｜下跌日天数： 2

各标的在两类市场状态下的平均日收益率：
  标的A: 上涨日 +0.0093  下跌日 -0.0060
  标的B: 上涨日 -0.0033  下跌日 +0.0065
  标的C: 上涨日 +0.0013  下跌日 +0.0015

权重： [0.45 0.25 0.15] 权重之和： 0.85
各交易日组合收益率： [ 0.0021 -0.0018  0.0036  0.005   0.0001]
组合日均收益率： +0.0018

这一段有两个必须点明的地方：

1. 矩阵乘法是权重聚合的正确写法：returns.T @ weights 中，returns.T 是 $(5 \times 3)$（交易日 × 标的），weights 是长度为 3 的向量，矩阵乘向量得到长度 5 的向量——每个元素正是「当日三只标的收益率按权重加权求和」。这比自己写循环更简洁，也更快。
2. 权重必须显式核对是否归一化：本例 weights.sum() 为 0.85 而非 1.0，这是刻意保留的现金仓位。部分 invested 的组合收益率本就该低于满仓，读者若要满仓操作，应先做 weights = weights / weights.sum() 归一化。这在实盘里对应「仓位不满」的常见状态，回测时务必显式声明，避免把仓位比例的误差算成策略收益。

顺带一个观察：把上面三只标的的分组结果对照着看——标的 B 在「A 上涨日」里的平均收益是 -0.0033（反而为负），在「A 下跌日」里却是 +0.0065。这正是负协方差的直观体现：市场分化时它们往往反向而行。不过要注意这只样本只有 5 个交易日，统计量极不稳定，不能据此下任何投资判断；真实研究需要数百个交易日以上的样本。

4. 协方差矩阵在组合波动中的用法

有了协方差矩阵，组合波动可以直接由权重向量算出：

$$\sigma_p = \sqrt{w^{\mathsf{T}} \Sigma w}$$

其中 $w$ 是权重向量、$\Sigma$ 是协方差矩阵。这一步的价值在于：它显式地把「分散风险」变成了可计算的量——不同权重组合的波动差异，可以直接从矩阵算出而不必逐个回测。

import numpy as np

# 协方差矩阵（与上一节同一组数据的实跑真值，手工内联以便单块自包含）
cov = np.array([
    [0.000080, -0.000066, 0.000010],
    [-0.000066, 0.000101, -0.000028],
    [0.000010, -0.000028, 0.000022],
])

def portfolio_vol(w, sigma):
    """组合日波动率 = sqrt(w^T · Σ · w)"""
    return float(np.sqrt(w @ sigma @ w))

# 几种典型配置
cases = {
    "等权三只": np.array([1 / 3, 1 / 3, 1 / 3]),
    "重仓标的A": np.array([0.8, 0.1, 0.1]),
    "只持标的A": np.array([1.0, 0.0, 0.0]),
    "只持标的C": np.array([0.0, 0.0, 1.0]),
}

print("各配置的组合日波动率：")
for name, w in cases.items():
    print(f"  {name}: {portfolio_vol(w, cov):.6f}")

# 对照：单一持仓的波动率就等于其方差开方
print("\n对照——只持标的A 的波动率应等于其方差开方：")
print("  开方计算:", f"{np.sqrt(0.000080):.6f}")
print("  矩阵计算:", f"{portfolio_vol(np.array([1.0, 0.0, 0.0]), cov):.6f}")

各配置的组合日波动率：
  等权三只: 0.001972
  重仓标的A: 0.006551
  只持标的A: 0.008944
  只持标的C: 0.004690

对照——只持标的A 的波动率应等于其方差开方：
  开方计算: 0.008944
  矩阵计算: 0.008944

结果读出了三条结论：

1. 分散确实降波动：等权三只的组合日波动（0.001972）远低于只持标的 A（0.008944），也低于只持波动最小的标的 C（0.004690）。这正是负协方差带来的好处——标的 A 与 B、C 大体反向波动，组合起来波动被显著摊薄。
2. 集中则放大波动：重仓 80% 标的 A 的波动（0.006551）介于等权与满仓之间，随集中度单调上升，且始终高于等权配置。
3. 矩阵公式与直觉自洽：「只持标的 A」时权重退化为 $[1,0,0]$，此时公式应等价于 $\sqrt{\Sigma_{11}}$。脚本末尾用两种算法对照，输出完全一致（均为 0.008944），说明公式与实现无误。

注意量级：本例的协方差矩阵取自仅 5 个交易日的小样本，方差估计本身噪声极大（真实日收益方差通常在 $10^{-5}$ 量级以下）。这里只用它演示矩阵运算与读表方法，不可用于任何实际风险评估。

5. 两条必须记住的回测风险

用历史数据统计收益与风险，极容易得到比实盘更漂亮的结果。以下两类偏差是量化入门阶段最该先建立概念的：

• 幸存者偏差（survivorship bias）：只拿「活到今天」的标的做历史统计，会系统性高估收益。退市、停牌、被吸收合并的标的往往从样本里消失，只剩赢家——真实交易中你未必能在当年买到它们。
• 前视偏差（look-ahead bias）：用了当时还不可得的信息。例如用「当日收盘价」生成信号却按「当日开盘价」成交，或用财报公布后的修订数据回测更早的时段。这会让回测收益远高于实盘可实现的水平。

工程上的防范手段包括：样本尽量包含退市标的、使用点可得（point-in-time）数据、信号与成交严格错开一个可执行的时间粒度。本节的示例数据是手写小样例，不构成任何策略验证；真实研究必须走上面这些纪律。

📝 动手练一练

1. 概念辨析题：协方差矩阵对角线上的元素与非对角线元素分别代表什么？为什么协方差矩阵一定是对称的？

   👉 点击查看参考答案

   参考答案：

   • 对角线 $\Sigma_{ii} = \mathrm{Cov}(r_i, r_i) = \mathrm{Var}(r_i)$，是第 $i$ 只标的自身收益率的方差，反映其波动水平；
   • 非对角线 $\Sigma_{ij} = \mathrm{Cov}(r_i, r_j)$，是标的 $i$ 与 $j$ 收益率的协方差，刻画两者联动的方向与强度：正为同向，负为反向，接近 0 为基本独立；
   • 对称性来自协方差定义本身：交换 $i$ 与 $j$ 的顺序不改变乘积 $(r_{i,t} - \bar{r}_i)(r_{j,t} - \bar{r}_j)$ 的值，因此 $\Sigma_{ij} = \Sigma_{ji}$。

2. 编程练习题：给定协方差矩阵 cov = np.array([[0.0001, 0.00002], [0.00002, 0.0004]])，请计算等权组合（各 50%）的日波动率。

   👉 点击查看参考答案

   参考答案：

   import numpy as np
   
   cov = np.array([[0.0001, 0.00002], [0.00002, 0.0004]])
   w = np.array([0.5, 0.5])
   vol = float(np.sqrt(w @ cov @ w))
   print("等权组合日波动率：", f"{vol:.6f}")

等权组合日波动率： 0.011619

等权时公式可化简为 $\sqrt{\frac{\sigma_1^2 + 2\rho\sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2}{4}}$。本例中两资产的协方差为正（+0.00002，同向波动），但即便如此，等权组合的波动率 0.011619 仍低于两者波动率的简单平均 0.015000——因为分散化本身就有降低波动的作用，只是效果比负相关时弱。读者可把协方差改成 -0.00002 再算一次（结果 0.010724），对比两者差距，这正是「负相关 + 分散」双重效应叠加的效果，也与第 4 节中负协方差的情形相互印证。

本章小结

• 走通了「收益率矩阵构造 → 中心化 → 协方差矩阵计算 → 组合波动度量」的 NumPy 量化分析流水线；
• 掌握了用 np.cov(rowvar=True) 按标的维度计算协方差矩阵、读懂其对角线（方差）与非对角线（联动关系）的含义；
• 掌握了用 returns.T @ weights 做矩阵化的权重聚合，以及组合波动公式 $\sigma_p = \sqrt{w^{\mathsf{T}} \Sigma w}$ 的用法与自洽性验证；
• 建立了量化方法论层面的风险意识：协方差为负才谈得上分散风险；回测必须警惕幸存者偏差与前视偏差。

📋 行动清单

• 动手改一改第 4 节的 weights，观察集中度变化时组合波动如何单调变化。
• 练习 2 中把协方差从正改为负（如 [[0.0001, -0.00002], [-0.00002, 0.0004]]），重算等权波动，体会分散优势。
• 复习第 4 章的 NumPy 形状与广播机制，为第 5 章 Pandas 的索引对齐打基础。

—— 小象教研组