如何使用 Matplotlib 绘制等高线图？

小象实战讲义 · Python 编程从入门到实践

在之前的课程中，我们学习了如何使用 Matplotlib 绘制折线图、柱状图等，它们主要描述了两个变量（如 X 和 Y）之间的关系。本节我们将学习一种新的图形——等高线图，它用于可视化三个变量之间的关系：X、Y 以及一个由 X 和 Y 共同决定的函数值 Z。学完本节，你将能够使用 contourf 和 contour 函数绘制出带有颜色填充和边界线的等高线图，并理解其背后的数据准备过程。

💡 核心导读

• 等高线图是什么：一种用于展示三维数据（X, Y, Z）在二维平面上投影的图形，其中 Z 是 X 和 Y 的函数。同一条等高线上的点，其 Z 值相等。
• 核心绘制函数：plt.contourf 用于填充等高线之间的区域，plt.contour 用于绘制等高线边界。
• 数据准备关键：绘制前需要使用 np.meshgrid 函数将一维的 X、Y 数组转换为二维网格矩阵，这是等高线函数能正确计算的基础。
• 主要参数：contourf 和 contour 的前三个参数是必需的，分别是网格化的 X、Y 坐标以及 Z 值函数。其他参数如第四个位置参数（层级数量）、alpha（透明度）、cmap（颜色映射）用于控制图形样式。

什么是等高线图？

等高线图是一种将三维曲面投影到二维平面上的可视化方法。想象一座山，地图上用一圈圈的闭合曲线表示相同海拔高度的点，这些曲线就是等高线。

在数学和编程中，我们有一个关于 X 和 Y 的函数 Z = f(X, Y)。等高线图展示的就是所有满足 f(X, Y) = C（C 为某个常数）的 (X, Y) 点的集合。在同一条等高线上，函数值 Z 是相等的。

例如，函数 f(x, y) = x + y 的等高线就是一系列斜率为 -1 的直线，在同一条直线上的所有点，其 x + y 的和都相同。

如何绘制等高线图？

绘制等高线主要用到 Matplotlib 的两个函数：plt.contourf 和 plt.contour。前者用于填充等高线之间的区域（用颜色区分高度），后者用于绘制等高线的边界线。

绘制过程分为三步：

1. 准备数据：生成 X 和 Y 的一维坐标数组，并用 np.meshgrid 将其转换为二维网格。
2. 计算高度：根据函数关系 Z = f(X, Y) 计算网格上每个点的高度值。
3. 调用绘图函数进行绘制。

下面我们通过一个具体例子来演示，绘制函数 f(x, y) = x² + y² 的等高线图。

import matplotlib
matplotlib.use("Agg")  # 无图形界面后端
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 1. 准备数据：生成一维坐标点
n = 256  # 点的数量，决定图形的精细度
x = np.linspace(-3, 3, n)  # 在-3到3之间生成256个等距点
y = np.linspace(-3, 3, n)  # Y轴同样范围

# 2. 关键步骤：使用 meshgrid 生成二维网格坐标矩阵
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# 现在 X 和 Y 都是二维数组（矩阵），它们共同定义了整个坐标平面上的网格点

# 3. 定义高度函数 Z = f(X, Y)
def height_func(x, y):
    return x ** 2 + y ** 2

# 4. 计算网格上每个点的高度值 Z
Z = height_func(X, Y)

# 5. 开始绘图
plt.figure(figsize=(5, 5))

# 使用 contourf 填充颜色区域
# 参数：X, Y网格，Z值，8（将Z值范围分成8个区域进行填充），alpha（透明度），cmap（颜色映射）
plt.contourf(X, Y, Z, 8, alpha=0.75, cmap=plt.cm.hot)

# 使用 contour 绘制等高线边界
# 参数：X, Y网格，Z值，8（绘制8条等高线），colors（边界线颜色）
plt.contour(X, Y, Z, 8, colors='black')

# 释放图形资源，在实际脚本中，如果后续不再绘图，建议调用
plt.close()

执行上述代码会生成一个圆形区域的等高线图：黑色的同心圆环就是等高线。因为函数是 x² + y²，所以等高线是标准的圆形。

理解 meshgrid 的作用

为什么不能直接把一维数组 x 和 y 传给 contourf，而必须先用 meshgrid 处理？这是本节的一个关键点。

contourf 和 contour 需要知道平面上每一个点的 (X, Y) 坐标。一维数组 x 和 y 只是分别定义了 X 轴和 Y 轴上的坐标值。meshgrid 的作用就是根据这两个一维数组，生成覆盖整个矩形区域的所有点的坐标矩阵。

简化理解： 假设 x = [1, 2, 3], y = [4, 5]。

• X, Y = np.meshgrid(x, y) 会生成：
  • X = [[1, 2, 3], [1, 2, 3]] （将 x 在垂直方向复制了 len(y) 次）
  • Y = [[4, 4, 4], [5, 5, 5]] （将 y 在水平方向复制了 len(x) 次）
• 这样，X 和 Y 中相同位置的元素就配对形成了一个点的坐标。例如，X[0,1] 和 Y[0,1] 是 (2, 4)。

只有这样，我们才能方便地计算每个网格点上的函数值 Z[i, j] = f(X[i, j], Y[i, j])。

调整图形样式：参数详解

contourf 和 contour 函数提供了许多参数来定制图形外观。除了必须的 X, Y, Z，常用的还有：

• 第四个参数（位置参数，层级数量）：控制把 Z 值范围分成多少个层级。例如 plt.contourf(X, Y, Z, 8) 表示把 Z 值范围分成 8 个区域。
• alpha：颜色填充的透明度，范围 0（完全透明）到 1（完全不透明）。
• cmap：颜色映射（colormap），用于将 Z 值映射到颜色。例如 plt.cm.hot（热力图），其他可选值可查阅官方文档。
• colors：指定等高线的颜色。contour 用它控制边界线颜色；contourf 也接受这个参数，但填充区域通常交给 cmap 按高度做颜色渐变。

让我们把填充区域和边界线的数量分别设置，看看效果变化：

import matplotlib
matplotlib.use("Agg")  # 无图形界面后端
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 数据准备
n = 256
x = np.linspace(-3, 3, n)
y = np.linspace(-3, 3, n)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X ** 2 + Y ** 2

plt.figure(figsize=(5, 5))

# contourf 的第四个参数设为 8：把 Z 值范围分成 8 个区域填充
plt.contourf(X, Y, Z, 8, alpha=0.5, cmap=plt.cm.hot)
# contour 的第四个参数设为 4：只画 4 条边界线
plt.contour(X, Y, Z, 4, colors='blue')

plt.close()

这段代码里填充区域是 8 个，边界线只有 4 条：每两个区域之间才出现一条边界线。contourf 和 contour 的第四个参数分别起作用，可以设置成不同的数。

再换一个高度函数，看看等高线的形状有什么变化：

import matplotlib
matplotlib.use("Agg")  # 无图形界面后端
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

n = 256
x = np.linspace(-3, 3, n)
y = np.linspace(-3, 3, n)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z2 = X + Y  # 新的高度函数：f(x,y) = x + y

plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.contourf(X, Y, Z2, 8, alpha=0.75, cmap=plt.cm.hot)
plt.contour(X, Y, Z2, 8, colors='green')
plt.close()

这里绘制函数 Z = X + Y 的等高线：等高线变成了平行的直线，因为对于固定的 Z，方程 X+Y=常数 是一条直线，同一条直线上所有点的 X+Y 值相同。

📝 动手练一练

1. 修改函数与观察：把第一个示例的高度函数改成 Z = X + Y，同时把 contour 的第四个参数从 8 改成 4，运行后观察：填充区域有几个？边界线有几条？

import matplotlib
matplotlib.use("Agg")  # 无图形界面后端
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

n = 256
x = np.linspace(-3, 3, n)
y = np.linspace(-3, 3, n)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X + Y  # 修改高度函数

plt.figure(figsize=(5,5))
plt.contourf(X, Y, Z, 8, alpha=.75, cmap=plt.cm.hot)
plt.contour(X, Y, Z, 4, colors='black')
plt.close()

常见错误

小结

1. 等高线图用于可视化三元函数 Z = f(X, Y)，图中同一条曲线上的点具有相同的 Z 值。
2. 绘制等高线的两个核心函数是 plt.contourf（填充颜色区域）和 plt.contour（绘制边界线），通常配合使用。
3. 数据准备是关键：必须先用 np.meshgrid 将一维的 X、Y 坐标数组转换为二维网格矩阵（X, Y），再计算对应的二维 Z 值矩阵。
4. 主要参数包括：网格数据 X, Y, Z，第四个位置参数（层级数量），填充透明度 alpha，颜色映射 cmap 和边界线颜色 colors。
5. 通过调整层级数量、cmap 等参数，可以控制图形的精细度和视觉风格，以适应不同的展示需求。

📋 行动清单

• 将示例代码中的高度函数 x**2 + y**2 改为 x**2 - y**2，运行并观察等高线形状的变化（从圆形变成了双曲线）。
• 尝试在 contourf 函数中把 cmap 从 plt.cm.hot 换成官方文档里的其他颜色映射，感受颜色对图形表达的影响。
• 查阅 Matplotlib 官方文档中关于 contourf 的页面，看看第四个参数还可以怎样指定。

—— 小象教研组