多元函数的极限

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在定义了多元函数、距离和邻域等基本概念之后，我们终于可以探讨多元函数极限这一核心概念。本节将严格定义多元函数的极限，并深入分析其与一元函数极限的异同、与序列极限的关系，以及通过不同路径（特别是累次极限）判断极限存在性的方法。掌握这些内容是理解多元函数连续性、可微性以及后续最优化理论的基础。

💡 核心导读

本节将为你建立以下知识地图：

1. 定义迁移：将一元函数极限的“ε-δ”语言，通过距离和邻域的概念，自然推广到高维空间，得到多元函数极限的严格定义。
2. 路径依赖：理解多元函数极限的核心挑战——路径依赖性。通过构造不同的趋近路径（如射线、曲线）来证明极限不存在，是本节的关键技能。
3. 两大工具：掌握判断极限的两种等价工具——序列极限（用于举反例）和累次极限（一种特殊的趋近路径），并厘清它们与函数极限之间的关系。
4. 向量函数：认识到多元向量函数的极限，本质上就是其每个分量函数的极限，为后续研究多元映射的微分打下基础。

从一元到多元：极限定义的推广

回顾一元函数 $f: \mathbb{R} \supset E \to \mathbb{R}$ 在 $x_0$ 处极限为 $a$ 的定义：

对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $x \in E$ 且 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - a| < \varepsilon$。

其核心思想是：当自变量 $x$ 与 $x_0$ 的距离足够近时，函数值 $f(x)$ 与极限值 $a$ 的距离也足够近。

在 $\mathbb{R}^n$ 中，我们已经定义了距离 $d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$ 和邻域 $U(\mathbf{x}_0, \delta) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta\}$。利用这些概念，多元函数极限的定义可以几乎“一字不改”地写出。

定义（多元函数的极限）：设 $f: \mathbb{R}^n \supset E \to \mathbb{R}$，$\mathbf{x}_0$ 是 $E$ 的一个聚点（或称 $\mathbf{x}_0 \in E'$，即 $E$ 的导集）。如果存在实数 $a$，使得对任意 $\varepsilon > 0$，都存在 $\delta > 0$，满足： $$\forall \mathbf{x} \in E,\ 0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta \implies |f(\mathbf{x}) - a| < \varepsilon,$$ 则称当 $\mathbf{x}$ 趋于 $\mathbf{x}_0$ 时，$f(\mathbf{x})$ 的极限为 $a$，记作 $$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x}) = a.$$

关键点解析：

1. 聚点要求：$\mathbf{x}_0$ 必须是定义域 $E$ 的聚点。这意味着在 $\mathbf{x}_0$ 的任意小邻域内，都包含 $E$ 中除 $\mathbf{x}_0$ 本身外的其他点。否则，讨论“趋近”将失去意义。
2. $\mathbf{x} \in E$：极限过程只关心定义域内的点如何趋近。我们不考虑从定义域外找点列去趋近 $\mathbf{x}_0$。
3. 正常情况：在大多数实际问题中，$\mathbf{x}_0$ 是 $E$ 的内点，即存在某个 $\delta_0 > 0$，使得邻域 $U(\mathbf{x}_0, \delta_0) \subset E$。此时，定义中的条件“$\mathbf{x} \in E$”可以自然地满足，无需额外强调。

函数极限与序列极限

在一元微积分中，函数极限与序列极限是等价的：$\lim_{x \to x_0} f(x) = a$ 当且仅当对于任意收敛于 $x_0$ 的序列 $\{x_k\} \subset E \setminus \{x_0\}$，都有 $\lim_{k \to \infty} f(x_k) = a$。

这个等价关系在多元情形下完全成立，并且是判断极限不存在的利器。

定理（Heine归结原理）：设 $f: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$，$\mathbf{x}_0$ 是 $E$ 的聚点。则 $\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x}) = a$ 的充要条件是：对于任意满足 $\mathbf{x}_k \in E \setminus \{\mathbf{x}_0\}$ 且 $\lim_{k \to \infty} \mathbf{x}_k = \mathbf{x}_0$ 的点列 $\{\mathbf{x}_k\}$，都有 $\lim_{k \to \infty} f(\mathbf{x}_k) = a$。

应用策略：我们通常反向使用这个定理来证明极限不存在。

• 方法一（路径法）：找到两个不同的点列 $\{\mathbf{x}_k^{(1)}\}$ 和 $\{\mathbf{x}_k^{(2)}\}$，它们都趋于 $\mathbf{x}_0$，但对应的函数值序列收敛于不同的极限，即 $\lim f(\mathbf{x}_k^{(1)}) \ne \lim f(\mathbf{x}_k^{(2)})$。
• 方法二（发散法）：找到一个趋于 $\mathbf{x}_0$ 的点列 $\{\mathbf{x}_k\}$，使得 $\{f(\mathbf{x}_k)\}$ 发散（无极限）。

最常见的“点列”选择是沿着某种路径趋近，例如：

• 射线路径：$y = kx$（趋于原点时）。
• 曲线路径：$y = kx^2$, $y = \sin x$, 等。

下面通过几个典型例题来实践这些思想。

例题1：证明极限存在

求极限 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\tan(x^3 + y^3)}{x^2 + y^2}$。

解：利用等价无穷小 $\tan \theta \sim \theta$（当 $\theta \to 0$）。由于 $(x,y) \to (0,0)$ 时，$x^3 + y^3 \to 0$，故可进行换元。 令原极限为 $I$，则 $$I = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}.$$ 对分子进行因式分解：$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$。于是 $$I = \lim_{(x,y) \to (0,0)} (x+y) \cdot \frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 + y^2}.$$ 为了证明极限为 $0$，我们考虑取绝对值并放缩： $$|I| \le \lim_{(x,y) \to (0,0)} |x+y| \cdot \left| \frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 + y^2} \right|.$$ 进一步放缩分子中的 $|x^2 - xy + y^2| \le x^2 + |xy| + y^2$。由算术-几何平均值不等式 $|xy| \le \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$，可得 $$x^2 + |xy| + y^2 \le x^2 + \frac{1}{2}(x^2 + y^2) + y^2 = \frac{3}{2}(x^2 + y^2).$$ 因此， $$|I| \le \lim_{(x,y) \to (0,0)} |x+y| \cdot \frac{\frac{3}{2}(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} = \frac{3}{2} \lim_{(x,y) \to (0,0)} |x+y| = 0.$$ 由夹逼定理知，$I = 0$。

例题2 & 3：证明极限不存在（路径法）

例题2：判断 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$ 是否存在。

解：沿射线路径 $y = kx$（$k$ 为常数）趋近。 $$f(x, kx) = \frac{x \cdot kx}{x^2 + (kx)^2} = \frac{kx^2}{x^2(1+k^2)} = \frac{k}{1+k^2}.$$ 该极限值与路径参数 $k$ 有关。例如：

• 当 $k=0$（沿 $x$ 轴）时，极限为 $0$。
• 当 $k=1$（沿直线 $y=x$）时，极限为 $\frac{1}{2}$。 由于沿不同路径得到的极限值不同，故原极限 不存在。

例题3：判断 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ 是否存在。

解：这个例子更微妙。首先尝试射线路径 $y = kx$： $$f(x, kx) = \frac{x^2 \cdot kx}{x^4 + (kx)^2} = \frac{kx^3}{x^4 + k^2 x^2} = \frac{kx}{x^2 + k^2} \quad (x \ne 0).$$ 当 $x \to 0$ 时，上式极限为 $0$（只要 $k \ne 0$）。若 $k=0$（沿 $x$ 轴），函数值恒为 $0$，极限也是 $0$。似乎所有射线路径都给出极限 $0$。

但这并不能保证极限存在！我们需要寻找更“弯曲”的路径。考虑抛物线路径 $y = kx^2$： $$f(x, kx^2) = \frac{x^2 \cdot kx^2}{x^4 + (kx^2)^2} = \frac{kx^4}{x^4 + k^2 x^4} = \frac{k}{1+k^2}.$$ 该极限值依赖于 $k$。例如 $k=0$ 得 $0$，$k=1$ 得 $\frac{1}{2}$。因此，沿不同抛物线路径极限值不同，故原极限 不存在。

这个例子深刻地说明：即使所有“射线”路径都给出相同的极限，也不能保证函数极限存在。因为平面上的路径有无穷多种，其“丰富程度”远超过所有射线的集合。

import numpy as np

def path_limit(f, path_func, k_vals, num_points=1000):
    """
    计算函数沿给定路径族（参数k）在原点附近的极限行为。
    """
    limits_per_k = []
    for k in k_vals:
        # 生成趋于0的点列，例如 t = 1/n
        t_vals = 1 / np.arange(1, num_points+1)
        # 根据路径函数计算 (x, y)
        x_vals, y_vals = path_func(t_vals, k)
        # 计算函数值序列
        f_vals = f(x_vals, y_vals)
        # 取序列末尾若干项的平均作为极限的近似（若收敛）
        approx_limit = np.mean(f_vals[-100:])
        limits_per_k.append(approx_limit)
    return np.array(limits_per_k)

# 定义例题3的函数
def f_example3(x, y):
    return (x**2 * y) / (x**4 + y**2 + 1e-16) # 加小量防止除零

# 定义射线路径 y = k*x
def path_ray(t, k):
    x = t
    y = k * t
    return x, y

# 定义抛物线路径 y = k*x^2
def path_parabola(t, k):
    x = t
    y = k * t**2
    return x, y

# 测试
k_test = [0, 0.5, 1, 2]
print("沿射线路径 y = k*x 的近似极限:")
ray_limits = path_limit(f_example3, path_ray, k_test)
for k, lim in zip(k_test, ray_limits):
    print(f"  k={k}: {lim:.6f}")

print("\n沿抛物线路径 y = k*x^2 的近似极限:")
para_limits = path_limit(f_example3, path_parabola, k_test)
for k, lim in zip(k_test, para_limits):
    print(f"  k={k}: {lim:.6f}")

# 可视化其中一条路径的收敛情况
import matplotlib.pyplot as plt
k_specific = 1
t_vals = 1 / np.arange(1, 1001)
x_vals, y_vals = path_parabola(t_vals, k_specific)
f_vals = f_example3(x_vals, y_vals)

plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t_vals, f_vals, 'b-', alpha=0.7)
plt.xlabel('参数 t (趋于0)')
plt.ylabel('f(x(t), y(t))')
plt.title(f'沿路径 y={k_specific}*x^2 的函数值序列')
plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x_vals, y_vals, 'r.-', markersize=2, alpha=0.7)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('趋近路径 (抛物线)')
plt.axis('equal')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()

累次极限

对于二元函数 $f(x, y)$，除了 $(x,y)$ 同时趋于 $(x_0, y_0)$ 的二重极限，我们还可以考虑累次极限，即先让一个变量趋于其极限，再让另一个变量趋于其极限。

定义（累次极限）：设 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某个去心邻域内有定义。

• 先 $x$ 后 $y$ 的累次极限：若极限 $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x, y) = \varphi(y)$ 对 $y \ne y_0$ 存在，且极限 $\displaystyle \lim_{y \to y_0} \varphi(y) = A$ 也存在，则称 $A$ 为 $f(x,y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处的先 $x$ 后 $y$ 的累次极限，记作 $$\lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y) = A.$$
• 先 $y$ 后 $x$ 的累次极限：类似定义，记作 $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \lim_{y \to y_0} f(x, y) = B$。

对于 $n$ 元函数，则有 $n!$ 种可能的累次极限（对应变量求极限顺序的所有排列）。

累次极限与二重极限的关系

累次极限可以看作是一种特殊的趋近路径（先沿平行于 $x$ 轴的方向，再沿平行于 $y$ 轴的方向，或反之）。因此，它们与二重极限有以下重要关系：

1. 二重极限存在，不能保证累次极限存在。 反例：考虑函数 $$f(x,y) = (x+y) \sin\frac{1}{x} \sin\frac{1}{y}, \quad (x,y) \ne (0,0),$$ 且定义 $f(x,0)=f(0,y)=0$。

   • 二重极限：由于 $|\sin(\cdot)| \le 1$，有 $|f(x,y)| \le |x+y| \to 0$，故 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0$。
   • 累次极限（先 $x$ 后 $y$）：固定 $y \ne 0$，考虑 $\lim_{x \to 0} f(x,y)$。将其拆分为 $x\sin\frac{1}{x}\sin\frac{1}{y} + y\sin\frac{1}{x}\sin\frac{1}{y}$。第一项极限为 $0$（因 $|x\sin\frac{1}{x}| \le |x|$），但第二项中，$\sin\frac{1}{x}$ 在 $x\to 0$ 时振荡无界，而 $y\sin\frac{1}{y}$ 是常数，故整个第二项极限不存在。因此，第一步极限 $\varphi(y)$ 就不存在，累次极限自然不存在。

   根本原因：二重极限要求所有路径趋近，而累次极限要求的第一步（固定 $y$ 让 $x \to x_0$）是一种特殊的“横向”趋近。二重极限存在保证了终点的一致性，但无法保证这种特殊横向路径上的极限过程一定收敛。

2. 累次极限存在（甚至相等），不能保证二重极限存在。 反例：考虑函数 $$f(x,y) = \begin{cases} 1, & xy \ne 0,\\ 0, & xy = 0. \end{cases}$$

   • 累次极限：固定 $y \ne 0$，当 $x \to 0$ 时，$f(x,y) \equiv 1$，故 $\varphi(y)=1$，进而 $\lim_{y\to 0}\varphi(y)=1$。同理，先 $y$ 后 $x$ 的累次极限也是 $1$。两个累次极限存在且相等。
   • 二重极限：沿 $x$ 轴（$y=0$）趋近原点，函数值恒为 $0$；沿直线 $y=x$ 趋近原点，在原点附近（除原点外）函数值恒为 $1$。两者极限不同，故二重极限不存在。

3. 若二重极限存在，且某个累次极限也存在，则三者相等。 定理：若 $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = A$，且对任意 $y \ne y_0$，极限 $\lim_{x \to x_0} f(x,y) = \varphi(y)$ 存在，则 $\lim_{y \to y_0} \varphi(y)$ 存在且等于 $A$。即 $$\lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x,y) = \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y).$$ 对另一种顺序的累次极限有类似结论。

   这个定理告诉我们，如果累次极限的路径能走通（即第一步极限存在），那么它得到的结果一定等于二重极限。在实际计算中，许多“性质良好”的函数都满足累次极限存在的条件，因此我们常通过计算累次极限来求得二重极限。

多元向量函数的极限

在实际问题中，我们经常遇到输出是多维的映射，例如从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的映射。这引出了向量函数的概念。

定义（向量函数）：设 $E \subset \mathbb{R}^n$，映射 $\mathbf{f}: E \to \mathbb{R}^m$ 称为一个 $m$ 维 $n$ 元向量函数。它可以表示为 $m$ 个 $n$ 元实值函数的组合： $$\mathbf{f}(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), \dots, f_m(\mathbf{x}))^\top, \quad \mathbf{x} \in E.$$ 其中每个 $f_i: E \to \mathbb{R}$ 称为 $\mathbf{f}$ 的分量函数。

向量函数的极限定义是分量函数极限的自然推广。

定义（向量函数的极限）：设 $\mathbf{f}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，$\mathbf{x}_0$ 是 $E$ 的聚点，$\mathbf{a} \in \mathbb{R}^m$。如果 $$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} \|\mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{a}\| = 0,$$ 则称当 $\mathbf{x}$ 趋于 $\mathbf{x}_0$ 时，$\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 的极限为 $\mathbf{a}$，记作 $\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{a}$。

等价刻画：$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{a}$ 当且仅当每个分量函数的极限存在，且 $$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f_i(\mathbf{x}) = a_i, \quad i = 1,2,\dots,m.$$ 其中 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_m)^\top$。

因此，研究向量函数的极限，本质上就是同时研究其所有分量函数的极限，并没有引入新的复杂性。

📝 动手练一练

1. 判断极限是否存在：计算或判断下列极限是否存在。若存在，求其值；若不存在，说明理由。 a) $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}$ b) $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 y^2 + (x-y)^2}$

2. 累次极限与二重极限：对于函数 $$f(x,y) = \frac{x - y + x^2 + y^2}{x + y}, \quad (x,y) \ne (0,0),$$ 讨论其在 $(0,0)$ 点的二重极限以及两种累次极限（如果存在）。

本章小结

本节是多元微分学的基石，核心是理解并运用多元函数的极限概念。

要点回顾：

• 定义核心：多元函数极限是“ε-δ”语言在高维空间的直接推广，核心是距离和邻域。定义域 $E$ 的聚点 $\mathbf{x}_0$ 是讨论极限的前提。
• 存在性判断：
  • 正面证明：常使用定义、夹逼定理、转化为极坐标、或利用连续性（后续内容）。
  • 反面证否（更常用）：利用路径依赖原理。找到两条趋近路径，使得函数值趋于不同的极限，即可断定极限不存在。
• 两大关系：
  • 与序列极限：函数极限存在 $\iff$ 所有收敛于该点的点列对应的函数值序列都收敛于同一极限。主要用于构造反例。
  • 与累次极限：两者无必然的推出关系。累次极限是特殊的路径极限。若二重极限与某一累次极限均存在，则它们相等。
• 向量函数：其极限归结为各分量函数的极限，没有引入新的理论困难。

📋 行动清单

1. 定义过关：默写并理解多元函数极限的“ε-δ”定义，明确聚点的作用。
2. 路径构造：针对一个给定的二元函数极限问题，能迅速尝试几种典型的趋近路径（如坐标轴、射线 $y=kx$、抛物线 $y=kx^2$）来初步判断其存在性。
3. 关系辨析：能清晰阐述二重极限、累次极限、序列极限三者之间的区别与联系，并能各举一例说明。

—— 小象教研组