基与维数

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在上一节，我们通过“秩”的概念，深入剖析了线性方程组解的结构，并引入了“基础解系”这一工具来描述解空间。本节，我们将为“基础解系”这一特殊概念赋予更一般的数学内涵——基，并由此定义线性空间的维数。理解基与维数是掌握线性空间结构、进行坐标变换以及后续学习特征值与奇异值分解（SVD）等高级主题的基石。

💡 核心导读

本节你将掌握：

• 基的定义：理解“极大线性无关组”如何成为描述空间结构的“基”。
• 维数的引入：为何基中向量的个数如此重要？它被定义为空间的维数。
• 坐标的新视角：在给定基下，向量如何与一组有序数（坐标）一一对应。
• 生成子空间：如何用一组向量“张成”一个子空间，其维数等于该向量组的秩。
• 秩的几何意义：矩阵的行秩与列秩相等，揭示了行空间与列空间维数相等的奇妙事实。

基的定义与性质

我们从一个核心概念出发。

定义（基）：设 $U$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维向量空间 $K^n$ 的一个非零线性子空间。如果 $U$ 中的一组向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 满足：

1. 线性无关；
2. $U$ 中任一向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 都可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表出， 则称 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是 $U$ 的一个基。

简而言之，子空间 $U$ 的基就是 $U$ 自身的一个极大线性无关组。它用最“经济”且“完备”的一组向量，刻画了整个空间的结构。

例1（标准基）：在 $K^n$ 中，向量组 $\boldsymbol{\epsilon}_1, \boldsymbol{\epsilon}_2, \dots, \boldsymbol{\epsilon}_n$ 是它的一组基，其中 $\boldsymbol{\epsilon}_i$ 是第 $i$ 个分量为 $1$，其余分量为 $0$ 的 $n$ 维向量。 $$\boldsymbol{\epsilon}_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{\epsilon}_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix},\quad \dots,\quad \boldsymbol{\epsilon}_n = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}$$ 这组基称为 $K^n$ 的标准基。将它们作为列向量拼起来，恰好得到 $n$ 阶单位矩阵 $I_n$。

例2（几何直观）：

• 在平面 $\mathbb{R}^2$ 中，任意两个不共线的向量构成一组基。例如，$\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$ 是标准基；$\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$ 也是一组基。
• 在空间 $\mathbb{R}^3$ 中，任意三个不共面的向量构成一组基。例如，$\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$ 是标准基；任意三个线性无关（即不共面）的向量也是一组基。

基的存在性与扩充：$K^n$ 的任何一个非零子空间 $U$ 都一定存在基。更具体地，可以从 $U$ 中任意一个非零向量开始，逐步添加新的向量，只要新向量不能被已有向量线性表出（即不“共面”于已有向量张成的子空间），最终就能扩充成 $U$ 的一组基。

维数：基的度量

一个重要的问题是：一个子空间的不同基，所含向量的个数是否相同？答案是肯定的。

定理：设 $U$ 是 $K^n$ 的一个非零子空间，则 $U$ 的任意两个基所含向量的个数相等。

证明思路：设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_r$ 是 $U$ 的两组基。因为基可以表出 $U$ 中所有向量，所以这两组向量可以相互线性表出，即它们等价。等价的向量组秩相等。而基本身是线性无关的，故 $\mathrm{rank}(\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s) = s$， $\mathrm{rank}(\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_r) = r$。因此 $s = r$。

既然基的向量个数是唯一确定的，我们就可以用这个数来刻画空间的大小。

定义（维数）：

• 设 $U$ 是 $K^n$ 的一个非零子空间，$U$ 的一个基所含向量的个数称为 $U$ 的维数，记作 $\dim U$。
• 规定只含零向量的子空间 $\{\boldsymbol{0}\}$ 的维数为 $0$。

例：

• $\dim K^n = n$，因为其标准基含有 $n$ 个向量。
• 对于齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解空间 $W$，我们有 $\dim W = n - \mathrm{rank}(A)$。这正是我们之前求基础解系时，得到 $n-r$ 个解向量的理论依据。这个公式 $\dim W = n - \mathrm{rank}(A)$ 非常重要，它用系数矩阵的秩 $(r)$ 和未知量个数 $(n)$ 这两个代数量，精确刻画了解空间的“自由度”（几何维数）。

坐标：向量在基下的表示

基为我们提供了一种“丈量”向量的标尺。

定理（坐标的唯一性）：设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 是子空间 $U$ 的一组基，则 $U$ 中任一向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 可被这组基唯一地线性表出。即存在唯一的一组数 $a_1, a_2, \dots, a_r \in K$，使得 $$\boldsymbol{\alpha} = a_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + a_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + a_r \boldsymbol{\alpha}_r.$$

证明：存在性由基的定义保证。假设有两组表示： $\boldsymbol{\alpha} = a_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + \dots + a_r \boldsymbol{\alpha}_r = b_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + \dots + b_r \boldsymbol{\alpha}_r$。 两式相减得：$(a_1 - b_1)\boldsymbol{\alpha}_1 + \dots + (a_r - b_r)\boldsymbol{\alpha}_r = \boldsymbol{0}$。 由于 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性无关，故系数全为零，即 $a_i = b_i$ 对 $i=1,\dots,r$ 成立。唯一性得证。

基于这种唯一对应关系，我们引入坐标的概念。

定义（坐标）：设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 是子空间 $U$ 的一组基，向量 $\boldsymbol{\alpha} \in U$ 有唯一表示 $\boldsymbol{\alpha} = a_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + \dots + a_r \boldsymbol{\alpha}_r$，则称有序数组 $(a_1, a_2, \dots, a_r)^T$ 为向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 下的坐标。

核心思想：一旦选定了一组基，子空间 $U$ 中的每一个向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 就与其坐标 $(a_1, \dots, a_r)^T$ 建立了一一对应的关系。当我们选取不同的基时，同一个向量会有不同的坐标表示，这正是后续学习线性坐标变换的基础。

注：极坐标、球坐标等曲线坐标不属于线性空间基下的坐标范畴，其坐标变换为非线性变换。

生成子空间及其维数

我们常常需要研究由给定向量组“撑起来”的空间。

定义（生成子空间）：设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是 $K^n$ 中的一组向量。由它们的所有线性组合构成的集合 $$\langle \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s \rangle = \{ k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s \mid k_1, k_2, \dots, k_s \in K \}$$ 是 $K^n$ 的一个子空间，称为由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 生成（或张成）的子空间。

例：齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解空间 $W$，若其基础解系为 $\boldsymbol{\xi}_1, \dots, \boldsymbol{\xi}_t$，则 $W$ 可以简洁地表示为： $$W = \langle \boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \dots, \boldsymbol{\xi}_t \rangle = \{ k_1\boldsymbol{\xi}_1 + \dots + k_t\boldsymbol{\xi}_t \mid k_i \in K \}.$$

一个自然的问题是：生成子空间的维数是多少？答案与向量组的秩紧密相关。

定理：设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 生成子空间 $U = \langle \boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s \rangle$，则 $$\dim U = \mathrm{rank}(\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s).$$ 即，生成子空间的维数等于生成它的向量组的秩。

证明思路：设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 的秩为 $r$，其一个极大线性无关组为 $\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \dots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}$。这个极大线性无关组本身线性无关，并且可以线性表出原向量组中的所有向量，从而可以表出 $U$ 中所有向量。因此，$\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \dots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}$ 就是 $U$ 的一组基，故 $\dim U = r$。

这个定理将向量组的代数性质（秩）与其生成的几何对象（子空间）的维数统一了起来。秩，从某种意义上，反映了这组向量所蕴含信息的“复杂度”或“自由度”。

由此，我们可以重新审视矩阵的行秩与列秩。

推论（行空间与列空间）：设 $A$ 是一个 $s \times n$ 矩阵。

• 将 $A$ 的 $s$ 个行向量张成的子空间称为 $A$ 的行空间，它是 $K^n$ 的子空间。
• 将 $A$ 的 $n$ 个列向量张成的子空间称为 $A$ 的列空间，它是 $K^s$ 的子空间。
• 则有：行空间的维数 = 列空间的维数 = $\mathrm{rank}(A)$。

这是一个深刻而美妙的结论：尽管行空间和列空间位于不同的向量空间（$K^n$ 和 $K^s$）中，但它们的维数（即“大小”）却由同一个数——矩阵的秩——所决定。

import numpy as np
# 示例：验证生成子空间的维数等于向量组的秩
# 定义一组向量 (作为行向量)
v1 = np.array([1, 2, -1, 0])
v2 = np.array([2, 4, 1, 1])
v3 = np.array([0, 0, 3, 1])
v4 = np.array([1, 2, 0, 0])

vectors = np.vstack([v1, v2, v3, v4])  # 构成矩阵
print("向量组矩阵：")
print(vectors)

# 方法1：计算矩阵的秩
rank_A = np.linalg.matrix_rank(vectors)
print(f"\n矩阵的秩 (向量组的秩): {rank_A}")

# 方法2：通过行简化阶梯形(RREF)求秩与极大无关组
# 使用sympy进行精确的符号行化简
# 注意：vectors 的每一行是一个向量。行初等变换保持的是"列向量组"的线性相关性，
# 因此要求"行向量组"的极大无关组，需先转置，让每个原向量成为一列。
import sympy as sp
M = sp.Matrix(vectors.T)
rref_matrix, pivot_cols = M.rref()
print("\n行简化阶梯形(RREF)（列对应原行向量）:")
print(rref_matrix)
print(f"极大无关组对应原向量索引: {pivot_cols}")
print(f"RREF主元列数 (即秩): {len(pivot_cols)}")

# 生成子空间的维数即为秩
print(f"\n结论：由这组向量生成的子空间维数为 {rank_A}。")
# 主元列对应的原行向量，即为生成子空间的一组基
basis_vectors = vectors[pivot_cols, :]
print("生成子空间的一组基（对应极大无关组的原向量）：")
print(basis_vectors)

📝 动手练一练

1. 基的判定与坐标计算：考虑 $\mathbb{R}^3$ 中的向量组 $\boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 7\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{v}_3 = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 5\end{pmatrix}$。 a) 判断 $\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3\}$ 是否为 $\mathbb{R}^3$ 的一组基？说明理由。 b) 若 $\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix}3 \\ 7 \\ 11\end{pmatrix}$，求 $\boldsymbol{b}$ 在基 $\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3\}$（如果是基）下的坐标。

2. 生成子空间：设 $\boldsymbol{u}_1 = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}, \boldsymbol{u}_2 = \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}, \boldsymbol{u}_3 = \begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}$。 a) 求由 $\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2, \boldsymbol{u}_3$ 生成的子空间 $U = \langle \boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2, \boldsymbol{u}_3 \rangle$ 的维数。 b) 给出 $U$ 的一组基。

本章小结

本节我们完成了从具体计算到抽象概念的关键跨越：

• 从基础解系到基：我们认识到，齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的一组基。
• 维数的精确定义：基所含向量的个数被定义为线性空间的维数，它是一个不依赖于基的选择的内在属性。核心公式 $\dim W = n - \mathrm{rank}(A)$ 连接了代数（秩）与几何（维数）。
• 坐标的数学本质：在选定基后，向量与其坐标（线性组合系数）一一对应。这为用数组（数字）研究几何对象提供了理论依据。
• 秩的几何诠释：向量组的秩等于其生成子空间的维数。矩阵的行秩与列秩相等，意味着行空间与列空间虽然身处不同“世界”，却有着相同的“规模”。

📋 行动清单

学完本节，你可以立即：

1. 判断与求基：给定一个子空间（如解空间），能判断一组向量是否为其基，并能求出一组基。
2. 计算坐标：给定向量和一组基，能求出该向量在此基下的坐标。
3. 理解维数：看到 $\dim V = d$，能明确这意味着 $V$ 中任意 $d+1$ 个向量都线性相关，且存在 $d$ 个线性无关的向量。

—— 小象教研组