重要极限

两个重要极限

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在上一节中，我们学习了序列极限的定义与性质。本节我们将聚焦于两个在微积分和后续概率论、最优化等领域中至关重要的极限：自然常数 $e$ 的极限定义，以及与之紧密相关的欧拉常数 $\gamma$。掌握它们的定义、推导过程以及应用技巧，是理解指数增长、对数函数渐近行为以及进行复杂极限计算的基础。

💡 核心导读

• 第一个重要极限：我们将严格证明序列 $x_n = (1 + \frac{1}{n})^n$ 单调递增且有上界，序列 $y_n = (1 + \frac{1}{n})^{n+1}$ 单调递减且有下界，且它们收敛于同一个极限——自然常数 $e$。
• 第二个重要极限：基于第一个极限的结论，我们将推导出调和级数的部分和与自然对数之差 $z_n = (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}) - \ln n$ 收敛于一个常数，即欧拉常数 $\gamma$。
• 极限的应用与变形：学习如何利用 $e$ 的极限形式，处理形如 $(1 - \frac{1}{n})^n$ 或带有指数变化的极限问题。
• 伯努利不等式的应用：在证明单调性的过程中，伯努利不等式是一个关键工具。
• 单调收敛原理：本节是运用“单调有界序列必收敛”这一基本原理的绝佳范例。

2.3.1 自然常数 $e$ 的极限定义

我们首先研究两个密切相关的序列： $$x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, \quad y_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$$

1. 序列间的基本关系 观察 $y_n$ 与 $x_n$ 的关系： $$y_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot x_n$$ 由于 $1 + \frac{1}{n} > 1$，因此对于任意 $n$，都有： $$y_n > x_n$$

2. 序列的单调性 接下来，我们证明 $x_n$ 单调递增，而 $y_n$ 单调递减。这里需要用到伯努利不等式作为工具。

伯努利不等式：对于任意实数 $x \ge -1$ 和任意正整数 $n$，有 $(1+x)^n \ge 1 + nx$。

• 证明 $x_n$ 单调递增： 考虑相邻两项的比值： $$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}$$ 为了应用伯努利不等式，我们进行如下变形： $$\begin{aligned} \frac{x_{n+1}}{x_n} &= \left(\frac{1 + \frac{1}{n+1}}{1 + \frac{1}{n}}\right)^{n+1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \\ &= \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \cdot \frac{n}{n+1} \end{aligned}$$ 令 $X = -\frac{1}{(n+1)^2}$，显然 $X \ge -1$。应用伯努利不等式 $(1+X)^{n+1} \ge 1 + (n+1)X$，可得： $$\left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \ge 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$ 代入原式： $$\frac{x_{n+1}}{x_n} \ge \frac{n}{n+1} \cdot \frac{n}{n+1} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2$$ 然而上述推导有误：在第一步变形中，末尾因子应为 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)$，而非 $\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$（差一个倒数），导致放缩方向错误，得出了无法证明结论的 $\left(\frac{n}{n+1}\right)^2 < 1$。正确的推导路径如下： $$\begin{aligned} \frac{x_{n+1}}{x_n} &= \frac{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n} \\ &= \left(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} \\ &= \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right) \end{aligned}$$ 对 $\left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}$ 应用伯努利不等式： $$\left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \ge 1 - \frac{n+1}{(n+1)^2} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$ 因此， $$\frac{x_{n+1}}{x_n} \ge \frac{n}{n+1} \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} = 1$$ 所以 $x_{n+1} \ge x_n$，即序列 $\{x_n\}$ 单调递增。

• 证明 $y_n$ 单调递减： 考虑相邻两项的比值： $$\frac{y_n}{y_{n+1}} = \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}}{\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+2}}$$ 经过类似的变形（具体步骤略），可以将其化为： $$\frac{y_n}{y_{n+1}} = \left(1 + \frac{1}{n^2 + 2n}\right)^{n+1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n+1}}$$ 对 $\left(1 + \frac{1}{n^2 + 2n}\right)^{n+1}$ 应用伯努利不等式： $$\left(1 + \frac{1}{n^2 + 2n}\right)^{n+1} \ge 1 + \frac{n+1}{n^2 + 2n}$$ 代入并通分计算： $$\begin{aligned} \frac{y_n}{y_{n+1}} &\ge \left(1 + \frac{n+1}{n^2 + 2n}\right) \cdot \frac{n+1}{n+2} \\ &= \frac{n^2 + 3n + 1}{n^2 + 2n} \cdot \frac{n+1}{n+2} \\ &= \frac{n^3 + 4n^2 + 4n + 1}{n^3 + 4n^2 + 4n} > 1 \end{aligned}$$ 故 $y_n > y_{n+1}$，所以序列 $\{y_n\}$ 单调递减。

3. 收敛性与极限定义 综合以上结论，我们有：

• $x_1 < x_2 < \dots < x_n < \dots$
• $y_1 > y_2 > \dots > y_n > \dots$
• 对任意 $n$，$x_n < y_n$

特别地，$x_n < y_1$ 对所有 $n$ 成立，故 $\{x_n\}$ 单调递增且有上界；$y_n > x_1$ 对所有 $n$ 成立，故 $\{y_n\}$ 单调递减且有下界。根据单调收敛原理，$\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 都收敛。

由于 $y_n = (1 + \frac{1}{n}) x_n$，两边同时取极限（设 $\lim_{n\to\infty} x_n = L$， $\lim_{n\to\infty} y_n = M$），并注意到 $\lim_{n\to\infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1$，可得： $$M = 1 \cdot L = L$$ 即两个序列收敛于同一个极限。我们定义这个共同的极限为自然常数 $e$。

$$\boxed{\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e}$$ $$\boxed{\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = e}$$

2.3.2 欧拉常数 $\gamma$ 的引入

从第一个重要极限的结论出发，我们可以得到关于自然对数的不等式链。因为 $x_n < e < y_n$，即： $$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$$ 对不等式两边同时取自然对数 $\ln(\cdot)$，利用其对数的单调性： $$n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) < 1 < (n+1) \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$$ 整理可得： $$\frac{1}{n+1} < \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$$ 这个不等式对任意正整数 $n$ 都成立。

现在，令 $n$ 从 $1$ 取到 $N$，并将这 $N$ 个不等式相加： $$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k+1} < \sum_{k=1}^{N} \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) < \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}$$ 中间的和式可以利用对数的性质进行化简： $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{N} \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) &= \sum_{k=1}^{N} \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) \\ &= \ln\left(\prod_{k=1}^{N} \frac{k+1}{k}\right) \\ &= \ln\left(\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \dots \cdot \frac{N+1}{N}\right) \\ &= \ln(N+1) \end{aligned}$$ 于是，我们得到： $$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k+1} < \ln(N+1) < \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}$$ 现在，我们构造一个新的序列 $z_N$： $$z_N = \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{N}\right) - \ln N$$ 我们的目标是研究 $\{z_N\}$ 的收敛性。利用上面的不等式，我们可以证明 $\{z_N\}$ 是单调递减且有下界的。

• 有下界：由 $\ln(N+1) < \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}$，可得 $$z_N = \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k} - \ln N > \ln(N+1) - \ln N = \ln\left(1 + \frac{1}{N}\right) > 0$$ 所以 $z_N > 0$，序列有下界 $0$。

• 单调递减：考虑相邻两项的差： $$\begin{aligned} z_N - z_{N+1} &= \left(\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k} - \ln N\right) - \left(\sum_{k=1}^{N+1} \frac{1}{k} - \ln(N+1)\right) \\ &= -\frac{1}{N+1} + (\ln(N+1) - \ln N) \\ &= \ln\left(1 + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} \end{aligned}$$ 根据之前推导的不等式 $\ln(1 + \frac{1}{N}) > \frac{1}{N+1}$，可知 $z_N - z_{N+1} > 0$，即 $z_N > z_{N+1}$。所以 $\{z_N\}$ 单调递减。

由于 $\{z_N\}$ 单调递减且有下界，根据单调收敛原理，它必定收敛。我们将其极限定义为欧拉常数 $\gamma$：

$$\boxed{\gamma = \lim_{N \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{N}\right) - \ln N \right]}$$

欧拉常数 $\gamma$ 是一个重要的数学常数，其近似值约为 $0.5772156649\dots$。这个极限揭示了调和级数的部分和 $\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}$ 与 $\ln N$ 在 $N \to \infty$ 时具有相同的发散趋势（都趋向无穷大），但它们之间的差会稳定地趋近于一个固定常数 $\gamma$。

2.3.3 重要极限的应用与计算技巧

掌握了 $e$ 的标准极限形式后，我们可以处理一些相关的极限问题。核心思想是通过代数变形，将所求极限化为标准形式。

例题 1：求极限 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n}\right)^n$。

解：将底数写成 $(1 + \text{无穷小})$ 的形式，并调整指数。 $$\left(1 - \frac{2}{n}\right)^n = \left[\left(1 + \frac{(-2)}{n}\right)^{\frac{n}{-2}}\right]^{-2}$$ 令 $m = -\frac{n}{2}$，则当 $n \to \infty$ 时，$m \to -\infty$。注意到当 $m \to -\infty$ 时亦有 $\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m \to e$（令 $m = -k$，则 $\left(1 - \frac{1}{k}\right)^{-k} = \left[\left(1 - \frac{1}{k}\right)^k\right]^{-1} \to e$）。因此， $$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n}\right)^n = \lim_{m \to -\infty} \left[\left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m}\right]^{-2} = e^{-2}$$

例题 2：求极限 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$。

解：这是例题1中 $a=1$ 的特殊情况。 $$\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \left[\left(1 + \frac{(-1)}{n}\right)^{\frac{n}{-1}}\right]^{-1} \to e^{-1}$$

例题 3：分析极限 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n^2}$。

分析与解：这个极限不能直接套用公式，因为指数是 $n^2$。我们可以将其写作： $$\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n^2} = \left[\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{n}$$ 由例题2可知，$\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} \to e^{-1} < 1$。因此，当 $n$ 充分大时，$\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}$ 会小于一个小于 $1$ 的固定常数 $q$（例如 $q = 0.4$）。那么对于充分大的 $n$，有： $$0 < \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n^2} < q^n$$ 由于 $0 < q < 1$，$\lim_{n \to \infty} q^n = 0$。根据夹逼定理，原极限为 $0$。

严谨表述：因为 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = \frac{1}{e} \in (0, 1)$，故存在 $q \in (\frac{1}{e}, 1)$ 和正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$(1 - \frac{1}{n})^n < q$。于是当 $n > N$ 时，$0 < (1 - \frac{1}{n})^{n^2} < q^n$。由 $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$，得 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^{n^2} = 0$。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 验证第一个重要极限：收敛到 e
n_vals = np.logspace(1, 7, 50, dtype=int)  # 从10到1000万的指数间隔点
x_n = (1 + 1/n_vals) ** n_vals
y_n = (1 + 1/n_vals) ** (n_vals + 1)

plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(n_vals, x_n, 'b-', label=r'$x_n = (1+1/n)^n$', alpha=0.7)
plt.plot(n_vals, y_n, 'r--', label=r'$y_n = (1+1/n)^{n+1}$', alpha=0.7)
plt.axhline(y=np.e, color='k', linestyle=':', label=r'$y = e$', alpha=0.5)
plt.xscale('log')
plt.xlabel('n (log scale)')
plt.ylabel('Sequence Value')
plt.title('Convergence to Natural Constant e')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

# 验证第二个重要极限：收敛到欧拉常数 gamma
N_vals = np.logspace(1, 6, 50, dtype=int)
harmonic_partial_sum = np.cumsum(1 / np.arange(1, N_vals.max()+1))[N_vals-1] # 计算调和级数部分和
z_N = harmonic_partial_sum - np.log(N_vals)

# 使用已知的高精度近似值
gamma_approx = 0.5772156649015328606065120900824024310421

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(N_vals, z_N, 'g-', label=r'$z_N = H_N - \ln N$', alpha=0.7)
plt.axhline(y=gamma_approx, color='k', linestyle=':', label=r'$\gamma \approx 0.5772$', alpha=0.5)
plt.xscale('log')
plt.xlabel('N (log scale)')
plt.ylabel('Sequence Value')
plt.title('Convergence to Euler–Mascheroni Constant γ')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

# 打印最后几个计算值
print("验证第一个极限 (最后5项):")
for i in range(-5, 0):
    print(f"n={n_vals[i]:>8}, x_n={x_n[i]:.10f}, y_n={y_n[i]:.10f}, e={np.e:.10f}")

print("\n验证第二个极限 (最后5项):")
for i in range(-5, 0):
    print(f"N={N_vals[i]:>8}, z_N={z_N[i]:.10f}, γ={gamma_approx:.10f}")

📝 动手练一练

1. 极限计算：求极限 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^{2n}$。

   👉 点击查看参考答案

   参考答案： $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^{2n} = \lim_{n \to \infty} \left[\left(1 + \frac{3}{n}\right)^{\frac{n}{3}}\right]^{6} = e^{6}$。

2. 不等式应用：利用本节推导出的不等式 $\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}$，证明序列 $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}$ 是单调递减的。（提示：考虑 $\ln a_n$ 的相邻项之差）

   参考答案： 令 $f(x) = \left(x+\frac{1}{2}\right)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$（$x > 0$），则 $\ln a_n = f(n)$。只需证明 $f$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。 首先，对 $t > 1$，令 $h(t) = \frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right) - \ln t$，则 $h'(t) = \frac{(t-1)^2}{2t^2} \ge 0$，且 $h(1)=0$，故 $\ln t < \frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)$。 取 $t = \sqrt{1+\frac{1}{x}} > 1$，得 $$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = 2\ln t < t - \frac{1}{t} = \frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}$$ 又因 $\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = x^2 + x + \frac{1}{4} > x(x+1)$，故 $\frac{1}{\sqrt{x(x+1)}} < \frac{x+\frac{1}{2}}{x(x+1)}$。于是 $$f'(x) = \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - \frac{x+\frac{1}{2}}{x(x+1)} < 0$$ 故 $f$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，从而 $\ln a_n = f(n) > f(n+1) = \ln a_{n+1}$，即 $a_n > a_{n+1}$，序列 $\{a_n\}$ 单调递减。

本章小结

本节我们深入探讨了微积分中的两个基石性极限：

1. 自然常数 $e$：通过构造单调有界序列 $x_n = (1+\frac{1}{n})^n$ 和 $y_n = (1+\frac{1}{n})^{n+1}$，并利用伯努利不等式证明其单调性，我们严格定义了 $e$ 为它们的共同极限。这是指数函数 $e^x$ 定义的源头。
2. 欧拉常数 $\gamma$：从 $e$ 的极限定义出发，推导出对数不等式，进而构造出序列 $z_N = H_N - \ln N$（其中 $H_N$ 是调和级数部分和），并证明其收敛。这个极限揭示了调和级数与自然对数发散速率间的精妙关系。

📋 行动清单

• 理解证明脉络：回顾利用伯努利不等式证明序列单调性的关键步骤，这是分析序列行为的经典方法。
• 掌握变形技巧：面对形如 $(1 + \frac{a}{n})^{bn}$ 的极限，熟练将其化为 $(1 + \frac{1}{m})^{m \cdot \frac{ab}{?}}$ 的标准形式。
• 数值验证：运行提供的 Python 代码，直观观察序列 $x_n$, $y_n$ 如何从两侧逼近 $e$，以及 $z_N$ 如何缓慢趋近 $\gamma$，加深对收敛过程的理解。

—— 小象教研组