矩阵乘积的秩与行列式

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

在人工智能的算法实现中，我们经常需要对多个矩阵进行复合运算，例如在神经网络的前向传播、主成分分析（PCA）的协方差矩阵计算中。这些复合运算结果的“信息容量”和“体积缩放”如何由原始矩阵决定？本节将系统学习矩阵乘积的两个核心性质：秩的不增性和行列式的乘积公式。掌握它们，你就能在不进行复杂数值计算的情况下，预估复合矩阵的秩，并高效计算其行列式。

💡 核心导读

本节你将掌握：

1. 秩的不增性：矩阵乘积的秩不超过任一因子矩阵的秩，即 $\operatorname{rank}(AB) \le \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$。这揭示了线性变换会压缩信息量。
2. 重要恒等式：矩阵 $A$ 与其转置的乘积 $A^TA$ 和 $AA^T$ 的秩，与 $A$ 本身的秩相等，即 $\operatorname{rank}(A^TA) = \operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}(A)$。这是理解协方差矩阵和最小二乘法的关键。
3. 行列式的乘积公式：对于同阶方阵 $A$ 和 $B$，有 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$。这意味着复合线性变换对空间的“体积”缩放倍数是各变换缩放倍数的乘积。
4. 证明思想：学会从“列向量的线性组合”和“齐次线性方程组同解”的视角理解并证明上述结论。

矩阵乘积的秩：秩的不增性

矩阵的秩度量了其列（或行）向量张成空间的维数，即矩阵所携带的“独立信息”的多少。当我们对矩阵进行乘法运算时，相当于对信息进行了一次处理或过滤。

定理 1（乘积的秩）：设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times p$ 矩阵，则乘积 $AB$ 的秩满足： $$\operatorname{rank}(AB) \le \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}.$$ 即，乘积矩阵的秩既不超过 $A$ 的秩，也不超过 $B$ 的秩。

直观理解：

• 从列空间看：将 $B$ 右乘 $A$，即 $A \cdot B$，可以看作用 $B$ 的列对 $A$ 的列向量进行线性组合，从而得到 $AB$ 的列向量。新的列向量组是 $A$ 的原始列向量组的线性组合，因此 $AB$ 的列空间是 $A$ 的列空间的子空间。子空间的维数（即 $AB$ 的列秩）自然不会超过原空间的维数（$A$ 的列秩）。由于矩阵的秩等于列秩，故 $\operatorname{rank}(AB) \le \operatorname{rank}(A)$。
• 从行空间看：将 $A$ 左乘 $B$，即 $A \cdot B$，可以看作用 $A$ 的行对 $B$ 的行向量进行线性组合，从而得到 $AB$ 的行向量。同理，$AB$ 的行空间是 $B$ 的行空间的子空间，故 $\operatorname{rank}(AB) \le \operatorname{rank}(B)$。

这个结论与信息论中的思想一致：对信息（矩阵）进行一次处理（乘法）后，得到的信息量（秩）不会增加，通常只会减少或保持不变。

证明： 我们证明 $\operatorname{rank}(AB) \le \operatorname{rank}(A)$，另一个不等式 $\operatorname{rank}(AB) \le \operatorname{rank}(B)$ 的证明完全对称。

设 $A$ 的列向量组为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_n$，即 $A = [\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_n]$。 设 $B = (b_{ij})_{n \times p}$，则乘积 $AB$ 的第 $j$ 列为： $$(AB)_{:,j} = A \cdot B_{:,j} = b_{1j}\boldsymbol{\alpha}_1 + b_{2j}\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + b_{nj}\boldsymbol{\alpha}_n, \quad j=1,2,\dots,p.$$ 这表明 $AB$ 的每一个列向量都是 $A$ 的列向量组 $\{\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_n\}$ 的一个线性组合。因此，$AB$ 的列向量组可由 $A$ 的列向量组线性表出。根据线性代数基本定理：若向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \dots, \boldsymbol{\beta}_p$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \dots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表出，则前者的秩不超过后者的秩。所以， $$\operatorname{rank}(AB) = \text{列秩}(AB) \le \text{列秩}(A) = \operatorname{rank}(A).$$ 同理，通过分析行向量组，可证 $\operatorname{rank}(AB) \le \operatorname{rank}(B)$。综上，定理得证。

矩阵 $A^TA$ 与 $AA^T$ 的秩

在数据科学中，矩阵 $A^TA$（格拉姆矩阵）和 $AA^T$（协方差矩阵的雏形）扮演着重要角色。一个令人惊奇的结论是，尽管 $A$, $A^TA$, $AA^T$ 的维数可能完全不同，但它们的秩却完全一致。

定理 2：对于任意 $m \times n$ 实矩阵 $A$，有 $$\operatorname{rank}(A^TA) = \operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}(A).$$

证明思路： 首先，根据转置不改变矩阵秩的性质，有 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^T)$。要证明三者秩相等，我们只需证明 $\operatorname{rank}(A^TA) = \operatorname{rank}(A)$，同理可得 $\operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}(A^T)$，从而可推得三者秩相等。

核心技巧是证明两个齐次线性方程组 同解： $$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \quad \text{与} \quad (A^TA)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}.$$ 其中 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$。

1. 显然方向：若 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，则两边左乘 $A^T$ 得 $A^TA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$。所以，$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解一定是 $A^TA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解。
2. 另一方向：若 $A^TA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，我们想推出 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$。在等式 $A^TA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 两边左乘 $\boldsymbol{x}^T$： $$\boldsymbol{x}^T (A^TA\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}.$$ 根据结合律，$(A\boldsymbol{x})^T (A\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}$，即 $\|A\boldsymbol{x}\|^2 = 0$。一个向量的长度平方为0，当且仅当该向量为零向量。因此，$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$。

既然两个方程组同解，它们的解空间 $W_1$ 和 $W_2$ 就完全相同，维数自然相等：$\dim W_1 = \dim W_2$。 根据线性方程组解空间维数公式：

• 对于 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，有 $n - \operatorname{rank}(A) = \dim W_1$。
• 对于 $(A^TA)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，有 $n - \operatorname{rank}(A^TA) = \dim W_2$。

因为 $\dim W_1 = \dim W_2$，所以 $n - \operatorname{rank}(A) = n - \operatorname{rank}(A^TA)$，立即得到 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^TA)$。证毕。

这个定理有深远的意义。例如，在求解最小二乘问题 $\min \|A\boldsymbol{x} - \boldsymbol{b}\|^2$ 时，正规方程是 $A^TA\boldsymbol{x} = A^T\boldsymbol{b}$。定理2保证了 $A^TA$ 的可逆性（即满秩）与 $A$ 的列满秩是等价的，这是最小二乘解存在唯一的理论基础。

矩阵乘积的行列式

行列式描述了方阵对应的线性变换对空间体积的缩放比例。当连续进行两次线性变换时，总缩放比例是多少？

定理 3（乘积的行列式）：设 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶方阵，则 $$\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B).$$ 即，复合变换的缩放比例等于各变换缩放比例的乘积。

这个公式极其强大。它意味着，要计算两个矩阵乘积的行列式，我们无需先做昂贵的矩阵乘法，只需分别计算两个行列式再做乘法即可，计算复杂度大大降低。

证明思路（以 $n=2$ 为例，高阶可用数学归纳法）： 考虑一个 $4 \times 4$ 的分块矩阵，并利用分块三角矩阵的行列式性质： $$\det \begin{pmatrix} A & O \\ -I & B \end{pmatrix} = \det(A) \cdot \det(B).$$ 其中 $I$ 是 $2 \times 2$ 单位阵，$O$ 是零矩阵。 接下来，我们通过初等行变换将上述矩阵化为另一个分块上三角矩阵：

1. 将第三行乘以 $A$ 的第一行元素加到第一行。
2. 将第四行乘以 $A$ 的第二行元素加到第二行。 经过一系列精心设计的行变换（不改变行列式的值），我们可以将矩阵化为： $$\begin{pmatrix} O & AB \\ -I & B \end{pmatrix}.$$ 此时，利用拉普拉斯展开定理，按前两行展开。由于前两行只在后两列有非零块 $AB$，所以行列式等于： $$\det(AB) \cdot \det(-I) = \det(AB) \cdot (-1)^2 = \det(AB).$$ 由于整个变换过程行列式值不变，所以我们有： $$\det(AB) = \det \begin{pmatrix} O & AB \\ -I & B \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} A & O \\ -I & B \end{pmatrix} = \det(A)\det(B).$$ 这就证明了 $n=2$ 的情况。对于一般的 $n$，证明思想类似但书写繁琐，通常采用数学归纳法完成。

这个定理有几个直接推论：

• $\det(A^k) = [\det(A)]^k$。
• 若 $A$ 可逆，则 $\det(A^{-1}) = [\det(A)]^{-1}$。
• 对于同阶方阵 $A$ 和 $B$，有 $\det(AB) = \det(BA)$（由乘积公式：$\det(AB) = \det(A)\det(B) = \det(B)\det(A) = \det(BA)$；注意此等式仅对同阶方阵成立）。

import numpy as np

# 验证矩阵乘积的秩与行列式性质
np.random.seed(42) # 固定随机种子，使结果可复现

# 1. 生成两个矩阵
A = np.random.randn(5, 3)  # 5x3矩阵
B = np.random.randn(3, 4)  # 3x4矩阵
A_square = np.random.randn(3, 3) # 3x3方阵
B_square = np.random.randn(3, 3) # 3x3方阵

print("矩阵 A (5x3) 的秩:", np.linalg.matrix_rank(A))
print("矩阵 B (3x4) 的秩:", np.linalg.matrix_rank(B))
print("乘积 AB (5x4) 的秩:", np.linalg.matrix_rank(A @ B))
print("定理1验证: rank(AB) <= min(rank(A), rank(B))?",
      np.linalg.matrix_rank(A @ B) <= min(np.linalg.matrix_rank(A), np.linalg.matrix_rank(B)))

print("\n" + "="*50 + "\n")

# 2. 验证 A^TA 的秩等于 A 的秩
print("矩阵 A 的秩:", np.linalg.matrix_rank(A))
ATA = A.T @ A
print("矩阵 A^TA (3x3) 的秩:", np.linalg.matrix_rank(ATA))
print("定理2验证: rank(A) == rank(A^TA)?", np.linalg.matrix_rank(A) == np.linalg.matrix_rank(ATA))

print("\n" + "="*50 + "\n")

# 3. 验证方阵乘积的行列式
det_A = np.linalg.det(A_square)
det_B = np.linalg.det(B_square)
det_AB = np.linalg.det(A_square @ B_square)

print("方阵 A 的行列式: {:.6f}".format(det_A))
print("方阵 B 的行列式: {:.6f}".format(det_B))
print("乘积 AB 的行列式: {:.6f}".format(det_AB))
print("乘积 det(A)*det(B): {:.6f}".format(det_A * det_B))
print("定理3验证: det(AB) ≈ det(A)*det(B)?", np.allclose(det_AB, det_A * det_B))

📝 动手练一练

1. 秩的估计：已知矩阵 $A$ 是 $5 \times 3$ 矩阵，秩为 $2$；矩阵 $B$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，秩为 $3$。请问矩阵乘积 $AB$ 的秩最大可能是多少？仅根据本节定理1，你能确定其秩的下界吗？

2. 行列式计算：设 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$。 a) 直接计算 $\det(A)$ 和 $\det(B)$。 b) 计算矩阵乘积 $AB$，再求 $\det(AB)$。 c) 验证 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ 是否成立。

本章小结

本节深入探讨了矩阵乘积的两个核心代数性质，它们是从线性变换角度理解矩阵运算的重要桥梁。

要点回顾：

• 秩的不增性：$\operatorname{rank}(AB) \le \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$。乘法作为线性变换会压缩信息，乘积矩阵的秩不会超过任一因子。
• $A^TA$ 的秩：$\operatorname{rank}(A^TA) = \operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}(A)$。这一结论通过证明齐次方程组 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 与 $A^TA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 同解而得，是后续学习最小二乘、主成分分析等算法的基石。
• 行列式的乘积公式：$\det(AB) = \det(A)\det(B)$。复合线性变换对空间的总体积缩放倍数，等于各变换缩放倍数的乘积。这提供了计算大型矩阵乘积行列式的高效方法。

📋 行动清单

1. 理解证明：重新梳理定理1和定理2的证明过程，确保你不仅能记住结论，更能理解“列向量线性组合”和“方程组同解”这两种核心证明思路。
2. 代码验证：运行并理解本节提供的Python代码，尝试修改矩阵的维度和数值，观察定理是否始终成立，加深数值直观。
3. 联想应用：思考在PCA算法中，为什么要计算数据矩阵 $X$ 的协方差矩阵 $X^TX$（或 $XX^T$）？定理2保证了协方差矩阵的秩反映了原始数据的真实维度（即主成分的最大可能数量）。

—— 小象教研组