行列式的性质

小象实战讲义 · 人工智能数学基础

行列式是线性代数中一个核心且强大的工具，它不仅是判断矩阵可逆性的标尺，更在求解线性方程组、计算特征值、理解线性变换的伸缩率等方面扮演着关键角色。本节我们将系统学习行列式的八大基本性质。掌握这些性质，不仅能让你深刻理解行列式的本质，更能让你在计算复杂行列式时，从“硬算”的苦海中解脱出来，灵活运用技巧，化繁为简。

💡 核心导读

本节你将掌握：

• 对称性：行列式转置，其值不变，这确立了行与列的平等地位。
• 线性性：行列式对单一行（列）具有可加性和齐次性。
• 变换不变性：三种初等行（列）变换如何影响行列式的值，特别是倍加变换不改变行列式。
• 关键判定：两行（列）相同或成比例，行列式为零。
• 拉普拉斯展开的推广：一行元素与另一行对应代数余子式乘积之和为零。

性质一：转置不变性

行列式最重要的性质之一是：一个方阵的行列式与其转置矩阵的行列式相等。

设 $A = (a_{ij})$ 为 $n$ 阶方阵，其转置记为 $A^T = (a_{ji})$，则有： $$\det(A) = \det(A^T)$$

证明思路（数学归纳法）：

1. 奠基：当 $n=1$ 时，$A = (a_{11})$，显然 $A^T = A$，结论成立。
2. 归纳假设：假设对于所有 $n-1$ 阶方阵，结论成立。
3. 归纳步骤：对于 $n$ 阶方阵 $A$，将其分别按第一行和第一列展开：
   • 按第一行展开：$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{1j} A_{1j}$，其中 $A_{1j}$ 是元素 $a_{1j}$ 的代数余子式。
   • 按第一列展开：$\det(A^T) = \sum_{j=1}^{n} a_{j1} A_{j1}^T$，其中 $A_{j1}^T$ 是 $A^T$ 中元素 $a_{j1}$ 的代数余子式。 注意到 $A_{j1}^T$ 恰好是 $A$ 中元素 $a_{1j}$ 的余子式（可能相差符号，但代数余子式的定义已包含符号 $(-1)^{i+j}$，需仔细验证符号一致）。根据归纳假设，$n-1$ 阶余子式矩阵的行列式满足转置不变性，因此 $A_{1j}$ 与 $A_{j1}^T$ 相等。从而 $\det(A) = \det(A^T)$。

这个性质的意义极其深远：它宣告了在行列式中，行和列的地位是完全平等的。因此，所有对“行”成立的性质，对“列”也必然成立。例如，拉普拉斯展开不仅可以按行进行，也可以按列进行： $$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij} \quad (\text{按第 } i \text{ 行展开})$$ $$\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij} \quad (\text{按第 } j \text{ 列展开})$$

行列式的核心性质

基于转置不变性，我们只需列出对“行”的描述，其对“列”的版本自然成立。

性质二：行的齐次性（提取公因子）

行列式中，某一行的所有元素若有公因子 $k$，则可以将 $k$ 提到行列式符号外面。 $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ k a_{i1} & k a_{i2} & \cdots & k a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = k \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

注意：这与矩阵数乘不同。若矩阵 $A$ 的每个元素都乘以常数 $c$，即 $cA$，其行列式为： $$\det(cA) = c^n \det(A)$$ 因为相当于每一行都提取了一个因子 $c$，总共提取 $n$ 次。

性质三：行的可加性（单行拆分）

如果行列式的某一行元素都是两数之和，则该行列式可以拆分为两个行列式之和，这两个行列式的该行分别为被加数，其余行保持不变。 $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_1 + c_1 & b_2 + c_2 & \cdots & b_n + c_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_1 & c_2 & \cdots & c_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

重要提醒：此性质仅适用于单行的拆分。如果多行同时都是和的形式，不能直接逐行拆分成多个行列式之和，因为拆分后的项需要按乘法原理组合，结果将是 $2^k$（$k$ 为拆分行数）个行列式之和。

性质四：互换两行（列），行列式反号

交换行列式的任意两行（或两列），行列式的值变为原来的相反数。 $$\begin{vmatrix} \vdots \\ \text{第 } i \text{ 行} \\ \vdots \\ \text{第 } j \text{ 行} \\ \vdots \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} \vdots \\ \text{第 } j \text{ 行} \\ \vdots \\ \text{第 } i \text{ 行} \\ \vdots \end{vmatrix}$$

此性质是行列式定义（排列的奇偶性）的直接推论。一个直观的理解是：行列式可以看作各行向量张成的平行多面体的有向体积，交换两个向量（行）的顺序，会改变手性（从右手系变为左手系），从而导致体积符号反转。

性质五：两行（列）相同，行列式为零

如果行列式中有两行（或两列）完全相同，则该行列式的值为 $0$。

证明：设行列式 $D$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行相同。交换这两行，根据性质四，新行列式 $D' = -D$。但由于两行相同，交换后矩阵没有任何变化，所以 $D' = D$。于是有 $D = -D$，解得 $D = 0$。

性质六：两行（列）成比例，行列式为零

如果行列式中有两行（或两列）的元素对应成比例，则该行列式的值为 $0$。

证明：设第 $i$ 行是第 $j$ 行的 $k$ 倍。由性质二，可以将比例系数 $k$ 从第 $i$ 行提出，得到 $k$ 乘以一个具有两行相同的行列式。再由性质五，该行列式为 $0$，故原行列式也为 $0$。

推论：若行列式有一行（列）元素全为零，则行列式值为 $0$（可视作该行是另一行的 $0$ 倍）。

性质七：倍加行变换不改变行列式

把行列式的某一行的 $k$ 倍加到另一行上，行列式的值不变。 $$\begin{vmatrix} \vdots \\ \text{第 } i \text{ 行} \\ \vdots \\ \text{第 } j \text{ 行} \\ \vdots \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vdots \\ \text{第 } i \text{ 行} \\ \vdots \\ \text{第 } j \text{ 行} + k \cdot (\text{第 } i \text{ 行}) \\ \vdots \end{vmatrix}$$

证明：设原行列式为 $D$。将第 $i$ 行的 $k$ 倍加到第 $j$ 行后，得到新行列式 $D'$。由性质三（可加性），$D'$ 可以拆分为 $D$ 加上 $k$ 倍的另一个行列式 $D''$，而 $D''$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行成比例（第 $j$ 行是 $k$ 倍的第 $i$ 行）。根据性质六，$D'' = 0$。因此 $D' = D$。

这是计算行列式最常用的技巧，因为它不改变行列式的值，却可以创造出更多的零元素，从而简化计算。

性质八：异行（列）代数余子式展开为零

行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 $$\sum_{k=1}^{n} a_{ik} A_{jk} = 0 \quad (i \ne j)$$ $$\sum_{k=1}^{n} a_{ki} A_{kj} = 0 \quad (i \ne j)$$

证明思路：构造一个新行列式 $D'$，其第 $j$ 行元素用第 $i$ 行元素替换，其余行与 $A$ 相同。一方面，因为 $D'$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行相同，由性质五知 $D' = 0$。另一方面，将 $D'$ 按第 $j$ 行展开，其代数余子式 $A_{jk}'$ 与原矩阵 $A$ 中元素 $a_{jk}$ 的代数余子式 $A_{jk}$ 完全相同（因为划去的是相同的行和列）。因此： $$0 = D' = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} A_{jk}' = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} A_{jk}$$

这个性质与拉普拉斯展开定理结合，可以简洁地写成： $$A \cdot \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A) \cdot A = \det(A) I$$ 其中 $\operatorname{adj}(A)$ 是 $A$ 的伴随矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列元素是 $A_{ji}$（注意下标顺序）。

性质的应用与计算实例

掌握了性质，关键在于灵活运用。下面通过几个典型例题展示如何化繁为简。

例1：计算行列式 $$D = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 7 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix}$$

解：利用性质四（互换变号）与性质七（倍加变换）创造零元素。

1. 互换第一、二行，把首主元换为 $1$，便于后续消元（性质四，行列式变号）： $$D = -\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 7 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix}$$
2. 将第一行的 $(-2)$ 倍加到第二行，第一行的 $(-3)$ 倍加到第三行（性质七）： $$D = -\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -7 & 9 \\ 0 & -8 & 7 \end{vmatrix}$$
3. 第一列仅剩一个非零元，按第一列展开（拉普拉斯展开定理）： $$D = -1 \times \begin{vmatrix} -7 & 9 \\ -8 & 7 \end{vmatrix} = -\left( -49 + 72 \right) = -23$$

例2：计算 $n$ 阶行列式（行变换法） $$D_n = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2-b & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2 & a_3-b & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n-b \end{vmatrix}$$

解：观察结构：第一行元素为 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，第 $i$ 行（$i \ge 2$）仅在第 $i$ 列上比第一行少 $b$。将第一行的 $(-1)$ 倍加到第 $2$ 至第 $n$ 行（性质七）：

• 第 $i$ 行（$i \ge 2$）的第 $i$ 列元素变为 $(a_i - b) - a_i = -b$；
• 第 $i$ 行的其余列元素变为 $a_j - a_j = 0$。

于是行列式化为上三角形式： $$D_n = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ 0 & -b & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & -b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -b \end{vmatrix} = a_1 \cdot (-b)^{n-1}$$

验证：取 $n=3$，$a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 3, b = 4$，公式给出 $D_3 = 1 \times (-4)^2 = 16$；将原行列式直接按第一行展开同样可得 $D_3 = 16$，两者一致。

例3：范德蒙德（Vandermonde）行列式 这是一个极其重要的行列式，形式如下： $$V_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}$$ 其值为： $$V_n = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$$ 即所有满足 $i < j$ 的 $(x_j - x_i)$ 的乘积。

证明（数学归纳法）：

• 当 $n=2$ 时，$V_2 = x_2 - x_1$，成立。
• 假设对 $n-1$ 阶成立。对于 $n$ 阶行列式 $V_n$，从最后一行开始，依次将前一行的 $(-x_1)$ 倍加到后一行（性质七）。
  • 操作后，第一列变为 $(1, 0, 0, \cdots, 0)^T$。
  • 第 $j$ 列（$j \ge 2$）的第 $i$ 行（$i \ge 2$）元素变为 $x_j^{i-1} - x_1 \cdot x_j^{i-2} = x_j^{i-2}(x_j - x_1)$。
• 按第一列展开，得到： $$V_n = 1 \cdot \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & x_3 - x_1 & \cdots & x_n - x_1 \\ x_2(x_2 - x_1) & x_3(x_3 - x_1) & \cdots & x_n(x_n - x_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_2^{n-2}(x_2 - x_1) & x_3^{n-2}(x_3 - x_1) & \cdots & x_n^{n-2}(x_n - x_1) \end{vmatrix}$$
• 从每一列中提出公因子 $(x_j - x_1)$： $$V_n = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)\cdots(x_n - x_1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_2^{n-2} & x_3^{n-2} & \cdots & x_n^{n-2} \end{vmatrix}$$
• 右边的行列式是一个 $n-1$ 阶的范德蒙德行列式 $V_{n-1}(x_2, \cdots, x_n)$。由归纳假设： $$V_{n-1}(x_2, \cdots, x_n) = \prod_{2 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$$
• 因此： $$V_n = \prod_{j=2}^{n} (x_j - x_1) \cdot \prod_{2 \le i < j \le n} (x_j - x_i) = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$$

重要推论：范德蒙德行列式 $V_n = 0$ 的充要条件是 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 中至少有两个数相等。反之，若这些数两两不等，则 $V_n \ne 0$。这个结论在多项式插值、线性方程组解的存在唯一性判断中至关重要。

📝 动手练一练

1. 计算行列式： $$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ 提示：尝试将后三行都加到第一行，看看有什么发现。

   👉 点击查看参考答案

   参考答案： 将第2、3、4行都加到第1行，则第1行元素全变为 $1+2+3+4=10$。提出公因子10后，再将新的第1行的 $(-1)$ 倍依次加到第2、3、4行，可以简化计算。最终结果为 $D = 160$。

2. 证明题：设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 是反对称矩阵（即 $A^T = -A$）。证明：当 $n$ 为奇数时，$\det(A) = 0$。 提示：利用行列式的转置不变性和齐次性。

   参考答案： 由 $A^T = -A$，两边取行列式： $$\det(A^T) = \det(-A)$$ 根据性质一，$\det(A^T) = \det(A)$。根据性质二的推广，$\det(-A) = (-1)^n \det(A)$。 因此有 $\det(A) = (-1)^n \det(A)$。当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n = -1$，上式变为 $\det(A) = -\det(A)$，故 $2\det(A)=0$，即 $\det(A)=0$。

本章小结

本节我们系统学习了行列式的八大核心性质，它们是行列式理论的基石，也是高效计算的利器。

要点回顾：

1. 转置不变：$\det(A) = \det(A^T)$，确立了行与列的对称地位。
2. 线性性质：单行（列）可提取公因子、可拆分为和。
3. 变换影响：互换两行（列）反号；倍加变换值不变。
4. 零值判定：两行（列）相同或成比例，行列式为零。
5. 展开定理补充：一行元素与另一行代数余子式乘积之和为零。

📋 行动清单

1. 理解而非死记：尝试用自己的话解释每个性质的含义，特别是性质四、七、八的证明思路。
2. 动手验证：使用下面提供的Python代码，随机生成矩阵，验证行列式的转置不变性、倍加变换不变性等性质。
3. 练习计算：找3-5道包含不同技巧（倍加消元、拆分、递推、范德蒙德）的行列式计算题，独立完成，并总结每种方法的适用场景。

import numpy as np

# 验证行列式性质
np.random.seed(42) # 固定随机种子，使结果可复现
n = 4
A = np.random.randint(-5, 6, size=(n, n)).astype(float) # 生成一个4x4随机整数矩阵

print("原始矩阵 A:")
print(A)
print(f"det(A) = {np.linalg.det(A):.4f}\n")

# 性质一验证：转置不变性
A_T = A.T
print("A 的转置 A^T:")
print(A_T)
print(f"det(A^T) = {np.linalg.det(A_T):.4f}")
print(f"det(A) == det(A^T)? {np.isclose(np.linalg.det(A), np.linalg.det(A_T))}\n")

# 性质二验证：提取一行公因子
k = 2.0
B = A.copy()
B[1, :] = k * B[1, :] # 将第二行乘以k
print("矩阵 B (A的第二行乘以k):")
print(B)
print(f"det(B) = {np.linalg.det(B):.4f}")
print(f"k * det(A) = {k * np.linalg.det(A):.4f}")
print(f"det(B) == k * det(A)? {np.isclose(np.linalg.det(B), k * np.linalg.det(A))}\n")

# 性质七验证：倍加行变换不变性
C = A.copy()
C[2, :] = C[2, :] + 3 * C[0, :] # 将第一行的3倍加到第三行
print("矩阵 C (将A的第一行的3倍加到第三行):")
print(C)
print(f"det(C) = {np.linalg.det(C):.4f}")
print(f"det(A) = {np.linalg.det(A):.4f}")
print(f"det(C) == det(A)? {np.isclose(np.linalg.det(C), np.linalg.det(A))}\n")

# 性质五验证：两行相同，行列式为0
D = A.copy()
D[3, :] = D[2, :] # 令第四行与第三行相同
print("矩阵 D (A的第四行改为与第三行相同):")
print(D)
print(f"det(D) = {np.linalg.det(D):.4f}")
print(f"det(D) 接近 0 吗? {np.isclose(np.linalg.det(D), 0, atol=1e-10)}")

—— 小象教研组