量化策略中的经典资金管理模型

小象实战讲义 · 进阶量化交易实战：迭代式的量化策略研发 本讲义仅用于编程与量化方法教学，不构成任何投资建议。

资金管理决定了量化交易者是成为复利奇迹还是走向破产归零。即便是一个期望收益为正的交易策略，如果不加节制地重仓下注，根据大数定律终将遭遇几何破产。本节系统推导凯利公式（Kelly Criterion）、固定比例风险模型（Fixed Fractional / CPR）以及最优 f 模型的数学机理。

💡 核心导读

• 三大经典资金管理模型体系：
  • 凯利公式最优下注比例（Kelly Criterion）：理论上实现长期对数财富增长率最大化的最优杠杆比例；
  • 半凯利与分数凯利（Fractional Kelly）：由于实盘参数估计存在误差，通常采用 $f^* / 2$ 作为稳健下注比例；
  • CPR 固定比例风险模型（Constant Proportion Risk）：单笔交易最大允许亏损金额严格锁定在总资本的固定比例（如 $1\% \sim 2\%$）。

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│                    资金管理模型与头寸规模计算拓扑图         │
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│ 凯利公式 (Kelly $f^*$)  │   │ 分数凯利 (Half-Kelly)   │   │ 固定比例风险 CPR 模型   │
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│ • $f^* = (b p - q) / b$ │   │ • $f = 0.5 \times f^*$  │   │ • 风险限额 = Equity * 1%│
│ • 最大化长期对数财富增长│   │ • 牺牲微小收益换回撤减半│   │ • Position = Risk / ATR │
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一、凯利公式的数学推导与破产临界点

设单笔交易胜率为 $p$，失败概率为 $q = 1 - p$，获胜时的盈亏比为 $b$。每笔下注占当前资本比例为 $f$。经过 $N$ 轮交易后的几何复合增长率为：

$$g(f) = p \ln(1 + b f) + q \ln(1 - f)$$

对 $g(f)$ 求导令 $g'(f) = 0$，解得使复合增长率最大化的最优下注比例：

$$f^* = \frac{b p - q}{b} = \frac{p(b+1) - 1}{b}$$

当 $f > 2 f^*$ 时，策略复合增长率将跌入负值区间，必将导致破产。

import numpy as np

def calculate_kelly_fraction(win_rate, profit_loss_ratio, safety_factor=0.5):
    """
    计算完全凯利与分数凯利最优仓位比例
    返回: 全凯利 f* / 分数凯利 / 分数凯利下的每轮期望对数增长
    """
    p = win_rate
    q = 1.0 - p
    b = profit_loss_ratio

    full_kelly = (b * p - q) / b if b > 0 else 0.0
    full_kelly = max(0.0, full_kelly)

    fractional_kelly = full_kelly * safety_factor

    expected_log_growth = p * np.log(1 + b * fractional_kelly) + q * np.log(1 - fractional_kelly)

    return {
        'Full_Kelly': float(full_kelly),
        'Fractional_Kelly': float(fractional_kelly),
        'Expected_Log_Growth': float(expected_log_growth),
    }

# 合成场景: 胜率 50%、盈亏比 2.0（理论全凯利 f* = (2*0.5-0.5)/2 = 0.25）
info = calculate_kelly_fraction(win_rate=0.5, profit_loss_ratio=2.0, safety_factor=0.5)
print("===== 凯利公式：全凯利与半凯利比例 =====")
print(f"全凯利 f*             : {info['Full_Kelly']*100:.2f}%")
print(f"半凯利 f*/2           : {info['Fractional_Kelly']*100:.2f}%")
print(f"半凯利每轮期望对数增长: {info['Expected_Log_Growth']:.4f}")

===== 凯利公式：全凯利与半凯利比例 =====
全凯利 f*             : 25.00%
半凯利 f*/2           : 12.50%
半凯利每轮期望对数增长: 0.0448

二、CPR 固定比例风险模型与 ATR 仓位动态计算

固定比例风险模型（CPR）规定每次交易承担的绝对风险金额为总资金的固定比例 $R_{pct}$（如 $1.5\%$）。单只标的的买入股数由每股止损距离 $\Delta P_{\text{stop}}$ 决定：

$$\text{Position Size} = \frac{\text{Total Equity} \times R_{pct}}{\text{Entry Price} - \text{Stop Price}} = \frac{\text{Total Equity} \times R_{pct}}{k \times ATR}$$

注意该公式只约束了「风险敞口」，并未约束「资金占用」。A 股现货账户无杠杆，当止损距离极窄（$k \times ATR$ 很小）时，公式算出的股数对应市值可能超过总资金，实际下单时必须再取 $\min(\text{风险股数},\ \lfloor \text{Total Equity} / \text{Price} \rfloor)$ 作为资金上限。

def calculate_cpr_position_size(equity, risk_pct, current_price, atr, atr_multiplier=2.0):
    """
    计算基于 CPR 固定风险与 ATR 止损的买入股数
    """
    risk_amount = equity * risk_pct
    stop_distance = atr * atr_multiplier

    if stop_distance <= 0:
        return 0

    shares = int(risk_amount / stop_distance)
    # A 股现货账户无杠杆: 持仓市值不得超过总资金, 防止窄止损时算出超资仓位
    max_shares_by_equity = int(equity / current_price)
    shares = min(shares, max_shares_by_equity)
    # 按 100 股整手向下取整
    shares = (shares // 100) * 100
    return shares

# 合成场景: 总资金 100 万, 单笔风险 1.5%, 股价 20.00 元, ATR 0.50 元（止损距离 2*ATR=1.00 元）
shares = calculate_cpr_position_size(
    equity=1_000_000, risk_pct=0.015, current_price=20.0, atr=0.5, atr_multiplier=2.0
)
print("===== CPR 固定比例风险仓位 =====")
print(f"买入股数: {shares} 股（{shares // 100} 手）")
print(f"占用资金: {shares * 20.0:,.2f} 元")
print(f"触止损最大亏损: {shares * 1.0:,.2f} 元 = 总资金 {shares * 1.0 / 1_000_000 * 100:.2f}%")

===== CPR 固定比例风险仓位 =====
买入股数: 15000 股（150 手）
占用资金: 300,000.00 元
触止损最大亏损: 15,000.00 元 = 总资金 1.50%

📝 动手练一练

编写 Python 仿真测试，对比半凯利与过度下注（f = 0.6）在 100 轮投掷硬币交易中的净值增长轨迹：

⚠️ 参数估计与风险提示：凯利公式要求输入真实胜率与盈亏比，而这两个参数只能从有限历史样本中估计，估计误差本身就构成过拟合风险——这也是实战采用半凯利（而非全凯利）的根本原因。以下收益序列为固定随机种子合成的教学样例，不代表任何真实策略表现，不构成收益承诺；真实交易还须计入手续费、滑点与流动性约束。

import numpy as np

def calculate_kelly_fraction(win_rate, profit_loss_ratio, safety_factor=0.5):
    """计算完全凯利与分数凯利最优仓位比例"""
    p = win_rate
    q = 1.0 - p
    b = profit_loss_ratio
    full_kelly = (b * p - q) / b if b > 0 else 0.0
    full_kelly = max(0.0, full_kelly)
    fractional_kelly = full_kelly * safety_factor
    return {'Full_Kelly': full_kelly, 'Fractional_Kelly': fractional_kelly}

# 合成收益序列: 胜率 50%、盈亏比 2.0（理论全凯利 f* = 0.25）
rng = np.random.default_rng(42)
p = 0.50
b = 2.0
kelly_info = calculate_kelly_fraction(win_rate=p, profit_loss_ratio=b, safety_factor=0.5)

n_trades = 100
outcomes = rng.choice([b, -1.0], size=n_trades, p=[p, 1 - p])

# 半凯利 f*/2 与过度下注 f=0.6 的净值轨迹
equity_half_kelly = [1.0]
equity_overbet = [1.0]
f_half = kelly_info['Fractional_Kelly']
f_over = 0.60

for r in outcomes:
    equity_half_kelly.append(equity_half_kelly[-1] * (1.0 + f_half * r))
    equity_overbet.append(equity_overbet[-1] * (1.0 + f_over * r))

print("================ 经典资金管理模型仿真验证 ================")
print(f"理论全凯利比例 f*     : {kelly_info['Full_Kelly']*100:.2f}%")
print(f"稳健半凯利比例 f*/2   : {kelly_info['Fractional_Kelly']*100:.2f}%")
print(f"半凯利 100 轮终态净值 : {equity_half_kelly[-1]:.4f}")
print(f"过度下注 100 轮终态净值: {equity_overbet[-1]:.4f}")
assert equity_half_kelly[-1] > equity_overbet[-1], "半凯利资金管理未能胜过过度下注！"
print("✅ 凯利公式与资金管理模型验证 PASS")
print("========================================================")

运行结果输出：

================ 经典资金管理模型仿真验证 ================
理论全凯利比例 f*     : 25.00%
稳健半凯利比例 f*/2   : 12.50%
半凯利 100 轮终态净值 : 257.4004
过度下注 100 轮终态净值: 0.2788
✅ 凯利公式与资金管理模型验证 PASS
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本章小结

1. 永远使用分数凯利（Half-Kelly）：实战中参数估计具有不确定性，半凯利能在牺牲微小几何增长的同时大幅降低回撤深度。
2. 严防过度杠杆引发几何破产：当下注比例超过理论最优值 2 倍时，长期的期望复合增长率必然衰减为负。
3. 结合 ATR 动态核算股数：通过 CPR 模型让每笔交易承担等量资本风险，实现不同波动率标的间的风险平价。

📋 行动清单 (Action Checklist)

• 运行凯利公式仿真测试代码，修改胜率与盈亏比观察最优下注比例变化；
• 编写结合单品种最大仓位限制与 CPR 资金模型的头寸规模综合分配器；
• 预习下一节，掌握用 Python 面向对象编程实现完整的资金管理模块。

—— 小象教研组