风险的度量-波动率

小象实战讲义 · 进阶量化交易实战：迭代式的量化策略研发 本讲义仅用于编程与量化方法教学，不构成任何投资建议。

波动率是金融资产价格最核心的二阶矩特征。在量化体系中，波动率既是风险的直接代名词，也是期权定价与动态头寸管理的核心输入变量。本节系统剖析历史波动率（HV）、帕金森极值波动率（Parkinson）与 EWMA 指数加权移动平均波动率模型。

💡 核心导读

• 三大经典波动率度量模型与适用场景：
  • 标准历史波动率（Close-to-Close HV）：仅基于收盘价对数收益率标准差，计算简单但丢失日内最高最低价信息；
  • 帕金森高低价极值波动率（Parkinson Volatility）：基于日内 High 和 Low 极值差，效率是传统收盘价波动率的 5 倍；
  • EWMA 动态衰减波动率（Exponentially Weighted）：赋予近期波动更高权重，敏锐捕捉波动率聚集（Volatility Clustering）效应。

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                    多维波动率量化度量拓扑图                 │
└──────────────────────────────┬──────────────────────────────┘
                               │
 ┌─────────────────────────────┼─────────────────────────────┐
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┌─────────────────────────┐   ┌─────────────────────────┐   ┌─────────────────────────┐
│ 收盘价历史波动率 (HV)   │   │ 帕金森极值波动率 (Park) │   │ EWMA 动态加权波动率     │
├─────────────────────────┤   ├─────────────────────────┤   ├─────────────────────────┤
│ • $\sigma = \text{std}(\ln(P_t/P_{t-1})) \times \sqrt{252}$│ │ • 基于 $\ln(H_t/L_t)^2$ │ │ • $\sigma_t^2 = \lambda \sigma_{t-1}^2 + (1-\lambda)r_t^2$│
│ • 基准常用，但时滞较长  │   │ • 充分捕获日内宽幅震荡  │   │ • 快速捕捉波动率暴增    │
└─────────────────────────┘   └─────────────────────────┘   └─────────────────────────┘

一、帕金森（Parkinson）极值波动率数学推导

假设资产价格在连续时间内遵循几何布朗运动。帕金森证明利用日内最高价 $H_t$ 与最低价 $L_t$ 可以构建更无偏、更高效的波动率估计量：

$$\sigma_{Park}^2 = \frac{1}{4 \ln 2 \cdot N} \sum_{t=1}^N \left( \ln \frac{H_t}{L_t} \right)^2 \times 252$$

相较于仅用收盘价，帕金森波动率能够在样本量较小时快速收敛至真实波动率。

import pandas as pd
import numpy as np

def calculate_parkinson_volatility(df: pd.DataFrame, window: int = 20) -> pd.Series:
    """
    计算帕金森高低价极值年化波动率（合成教学样例，日内极值噪声可能影响估计精度）
    """
    hl_ratio = np.log(df['high'] / df['low'])
    park_var = (hl_ratio ** 2).rolling(window).mean() / (4.0 * np.log(2.0))
    park_vol = np.sqrt(park_var * 252.0)
    return park_vol

# 合成日内高低价数据（教学样例，不代表真实市场行为）
rng = np.random.default_rng(42)
n_days = 50
base_price = 100.0
returns = rng.normal(0.0005, 0.015, n_days)
prices = base_price * np.cumprod(1 + returns)

# 生成日内高低价（振幅与波动率正相关）
daily_amplitude = np.abs(rng.normal(0, 0.8, n_days)) * np.abs(returns) * 3
df = pd.DataFrame({
    'close': prices,
    'high': prices * (1 + daily_amplitude),
    'low': prices * (1 - daily_amplitude)
}, index=pd.date_range('2024-01-01', periods=n_days, freq='D'))

# 计算帕金森波动率
df['parkinson_vol'] = calculate_parkinson_volatility(df, window=20)

print("===== 帕金森波动率计算示例 =====")
print(f"数据天数: {len(df)}")
print(f"最后5天收盘价: {df['close'].iloc[-5:].values.round(2)}")
print(f"最后5天帕金森波动率 (年化): {df['parkinson_vol'].iloc[-5:].values.round(4)}")
print(f"全样本帕金森波动率均值: {df['parkinson_vol'].mean():.4f}")

===== 帕金森波动率计算示例 =====
数据天数: 50
最后5天收盘价: [106.25 107.69 108.11 109.26 109.43]
最后5天帕金森波动率 (年化): [0.2672 0.3222 0.3245 0.3246 0.3241]
全样本帕金森波动率均值: 0.3564

二、EWMA 波动率聚集模型与风险衰减因子

金融资产收益率具有显著的“波动率聚集（Volatility Clustering）”特征，即大波动后往往伴随大波动。RiskMetrics 提出 EWMA 模型，衰减因子通常取 $\lambda = 0.94$：

$$\sigma_t^2 = \lambda \sigma_{t-1}^2 + (1 - \lambda) r_t^2$$

import pandas as pd
import numpy as np

def calculate_ewma_volatility(returns: pd.Series, decay: float = 0.94) -> pd.Series:
    """
    计算 EWMA 动态指数衰减年化波动率（教学演示，种子方差取全样本方差仅为递推启动，严格回测应避免未来信息）
    """
    var = np.zeros(len(returns))
    # 教学演示: 种子方差取全样本方差仅为递推启动, lambda=0.94 衰减极快(0.94^100≈0.002), 种子影响迅速消失;
    # 严格回测严禁用全样本统计量初始化(隐含未来信息), 应改用扩张窗口或前 warmup 期方差, 如 returns.iloc[:20].var()
    var[0] = returns.var()
    for i in range(1, len(returns)):
        var[i] = decay * var[i-1] + (1.0 - decay) * (returns.iloc[i] ** 2)
    return pd.Series(np.sqrt(var * 252.0), index=returns.index)

# 合成收益率序列（包含波动率状态切换，历史模式不代表未来）
rng = np.random.default_rng(123)
n = 100
# 前70天低波动，后30天高波动
rets_low = rng.normal(0, 0.01, 70)
rets_high = rng.normal(0, 0.03, 30)
rets = np.concatenate([rets_low, rets_high])
returns_series = pd.Series(rets, index=pd.date_range('2024-01-01', periods=n, freq='D'))

# 计算 EWMA 波动率
ewma_vol = calculate_ewma_volatility(returns_series, decay=0.94)

print("===== EWMA 波动率计算示例 =====")
print(f"收益率序列长度: {len(returns_series)}")
print(f"前70天收益率标准差: {returns_series.iloc[:70].std():.4f}")
print(f"后30天收益率标准差: {returns_series.iloc[70:].std():.4f}")
print(f"EWMA 波动率最后5天值: {ewma_vol.iloc[-5:].values.round(4)}")
print(f"EWMA 对波动率突变的响应: {ewma_vol.iloc[69]:.4f} -> {ewma_vol.iloc[99]:.4f}")

===== EWMA 波动率计算示例 =====
收益率序列长度: 100
前70天收益率标准差: 0.0093
后30天收益率标准差: 0.0248
EWMA 波动率最后5天值: [0.3565 0.3474 0.3636 0.3655 0.368 ]
EWMA 对波动率突变的响应: 0.1364 -> 0.3680

📝 动手练一练

编写 Python 脚本对比收盘价 HV、帕金森极值与 EWMA 波动率在突发黑天鹅事件中的响应速度（口径说明：正文 HV 定义采用对数收益率 $\ln(P_t/P_{t-1})$，下文代码在日频下以简单收益率 pct_change() 近似，两者日频差异极小；严格对数口径可改用 np.log(df['close']).diff()，EWMA 输入同理）：

import pandas as pd
import numpy as np

def calculate_parkinson_volatility(df: pd.DataFrame, window: int = 20) -> pd.Series:
    """
    计算帕金森高低价极值年化波动率（合成教学样例，日内极值噪声可能影响估计精度）
    """
    hl_ratio = np.log(df['high'] / df['low'])
    park_var = (hl_ratio ** 2).rolling(window).mean() / (4.0 * np.log(2.0))
    park_vol = np.sqrt(park_var * 252.0)
    return park_vol

def calculate_ewma_volatility(returns: pd.Series, decay: float = 0.94) -> pd.Series:
    """
    计算 EWMA 动态指数衰减年化波动率（教学演示，种子方差取全样本方差仅为递推启动，严格回测应避免未来信息）
    """
    var = np.zeros(len(returns))
    var[0] = returns.var()
    for i in range(1, len(returns)):
        var[i] = decay * var[i-1] + (1.0 - decay) * (returns.iloc[i] ** 2)
    return pd.Series(np.sqrt(var * 252.0), index=returns.index)

# 合成测试数据（模拟波动率状态突变，历史回测不代表未来表现）
rng = np.random.default_rng(42)
n = 100
# 前 80 天低波动，后 20 天波动率激增 3 倍
rets1 = rng.normal(0, 0.01, 80)
rets2 = rng.normal(0, 0.03, 20)
rets = np.concatenate([rets1, rets2])
sigmas = np.concatenate([np.full(80, 0.01), np.full(20, 0.03)])
prices = 100.0 * np.cumprod(1.0 + rets)

# high/low 日内振幅按状态 σ 同步缩放（与波动率状态切换保持一致）
df = pd.DataFrame({
    'high': prices * (1.0 + np.abs(rng.normal(0, 0.8, n)) * sigmas),
    'low': prices * (1.0 - np.abs(rng.normal(0, 0.8, n)) * sigmas),
    'close': prices
}, index=pd.date_range('2024-01-01', periods=n, freq='D'))

# 计算多种波动率度量
df['HV_20'] = df['close'].pct_change().rolling(20).std() * np.sqrt(252)
df['Park_20'] = calculate_parkinson_volatility(df, window=20)
df['EWMA'] = calculate_ewma_volatility(df['close'].pct_change().fillna(0))

print("================ 多维波动率度量响应对比 ================")
print(f"突发波动后 Close-to-Close HV: {df['HV_20'].iloc[-1]*100:.2f}%")
print(f"突发波动后 Parkinson 极值 HV : {df['Park_20'].iloc[-1]*100:.2f}%")
print(f"突发波动后 EWMA 动态波动率   : {df['EWMA'].iloc[-1]*100:.2f}%")
print(f"EWMA 响应性检查 (第70天 vs 最后): {df['EWMA'].iloc[70]:.4f} < {df['EWMA'].iloc[-1]:.4f} ? {df['EWMA'].iloc[70] < df['EWMA'].iloc[-1]}")
print("✅ 波动率量化度量与模型对比测试 PASS")
print("======================================================")

运行结果输出：

================ 多维波动率度量响应对比 ================
突发波动后 Close-to-Close HV: 34.61%
突发波动后 Parkinson 极值 HV : 38.65%
突发波动后 EWMA 动态波动率   : 34.96%
EWMA 响应性检查 (第70天 vs 最后): 0.1262 < 0.3496 ? True
✅ 波动率量化度量与模型对比测试 PASS
======================================================

本章小结

1. 根据场景选择波动率模型：长期资产配置选用标准历史波动率，日内与高频风控优先选用帕金森极值与 EWMA。
2. 捕捉波动率聚集现象：EWMA 模型通过指数衰减权重实现对突发市场剧震的秒级敏锐捕捉。
3. 波动率是仓位规模的核心输入：基于波动率倒数进行动态头寸分配（Volatility Targeting），平滑组合净值波动。

📋 行动清单 (Action Checklist)

• 运行波动率对比代码，调整 EWMA 衰减因子 $\lambda$（0.90 vs 0.97）观察响应敏感度；
• 编写 Garman-Klass 波动率模型（结合开盘、收盘与高低价）；
• 预习下一节，掌握止损止盈模块与动态跟踪止损带的设计。

—— 小象教研组